向前进, 你就会产生信念.

                                        ——达—朗贝尔

傅利叶变换是信号系统的奠基石，小波分析的基础理论，理论的粗疏理解固然不难但是
要达到深刻的境界，是不能仅仅依靠教科书的

Q1:为何要在通讯中使用傅利叶变换？

A11: 一个函数的傅立叶变换，本质上是把函数分解到一个垂直的坐标系， 每个坐标分
量称为频率，

在这个坐标系下的系数（本身是一个函数），我们称它为这个函数的频谱。

人们想理解怎么样能够控制信号在不同频率下传递 ，因为自然介质对不同频率信号响应
不同。然后还要考虑如何能够在改变信号频率前后，最小程度的减小或者增大某些量，
比如信噪比，或者熵，或者其他度量。傅立叶变换可以对这些问题提供工具。数学上，
也更容易操作。

傅利叶变化在工程和物理中使用十分广泛。


A12:

Fourier Transform是把给定信号用一大堆简单周期信号做一个线性叠加。

那一大堆简单的周期信号可以认为是基。这个基很nb，具有很多性质，比如正交。同时
，还存在一种快速算法。所以总的来说Fourier Transform实在是只应天上有的完美理论。

Q2:请问．如果对于本身是正旋波的信号．频率比如说是５ＭＨＺ,做过傅立叶变换．那
频率是否仍然还和原来相同？
A21:

正弦波座傅立叶变化后就不是周期性的了，所以也就不存在什么频率了

但是这个变化的冲激是位于５ＭＨＺ和-５ＭＨＺ处


A22：

首先, Fourier变换只是给人们提供另一个视角去看信号而已.

有人认为时域看信号直观些

有人认为频域看信号直观些

还有人喜欢即从时域又从频域看信号, 这要看应用场合的.

讲得再远点,除了时域和频域,你还可以从s域去看信号呢(利用Laplace变换)

另外,同一个信号,是周期就是周期的,不是周期就不是周期的,无论你从哪个域去看.

从时域看一个sine wave, 以时间为x轴,信号的波形是repeated的,

所以人们很直观地认为那是"周期的"

从频域看一个sine wave, 以频率为x轴, 信号的"频谱"是2根"脉冲"

但它仍有频率,仍是周期的。


A23:

傅立叶变换是一个数学工具，它能把信号对角化到不同的频率。但是信号本身的性质和
傅立叶变换没有关系，就是说，不管你做不做傅立叶变换，一个信号还是它本身，比如
5Mhz

依然不变。只是换了坐标系来考虑和处理信号，在这个坐标系下操作的好处，就是所有
的频率对应于某一个内积是垂直的。


A24:

1. X1+X2+X3+..+Xn  三个未知数服从不同的分布，想求在其和小于常数K的概率。

  一种是在时域上解的话是n重积分，极其繁琐。

  一种是用蒙托卡罗模拟，但得到的结果不是解析解，有方差。

  一种是用傅立叶变换变到频域，指数项使+变成了X，化简以后，使用反变换，这里有
很多快速数值算法，比如经典的Euler算法。这要比第一种简单很多。

2. 假设你对T时间内的invariant的分布建了模，而你在其分布特性不变的假设下想求N
T时间的分布的话，如果T时间分布模型是使用拟和等统计方法得到的话，时域是根本无
法得到的。 只有转到频域利用projection的特性，再转回来。


A25:信号无论在哪个空间下，都是有频率的。但是上文说到的“不存在频率”是指Four
ier Spectrum上再对frequency求frequency，一般来说，这很难找到一个说得通的物理解释。


但这个操作是有据可查的，叫做Liftering，一般工程上Fourier Analysis文献甚少有纪
录而已。实际上是可以用来做一些奇怪的检测。


Q3:谈谈傅利叶变换

A31:感觉大多咱们研究的都是实直线上的可测函数类，这里可测指的是Lebesgue可测（
勒贝格可测），如果说 Lp（IR)指的是IR（实直线）上的可测类，则应该满足：

L积分（|f(x)|^p)dx有界

L无穷（IR）指的处处有界函数类

一般来说感觉咱们研究的傅立叶变化实际只是很初等的L1（IR）上的，L2（IR）

本身Lp空间就是一个Banach空间，成立Minkowski不等式，Holder不等式，及Schwarz不
等式，赋予内积后，即变成一个Hilbert空间。

当f(x)属于L1(IR)时，F(w)属于L无穷（IR），并且再L1(IR)上一致连续

如果f(x)属于L2(IR)，那么傅立叶变换L2空间到L2空间的映射

如此有很多值得分析的结论和定理....

分析学东西很多，虽然都很精彩但理解起来总突然感觉自己原来还是很多不清楚

对于咱们工程应用更是接触的少，比如随机过程就算搞的再熟，也不过就是多了几种建
模方法而已，什么排队论啥的而已

当一旦发现如果A是X的一个simga环，（A，X）构成一个可测空间，uX=1,时可测集变成
了

随机事件，而(A,X)才构成了概率可测空间时，才发现我们学很多东西是忽略的东西更多
.

A32:

如果要从泛函的角度讨论的话，那么数学分析里一些最困难的问题都会归结到傅立叶分
析（或者调和分析）上。

工程上，大部分时候都是以“拿来[屏蔽]”的态度，数学家列个表格傅立叶变换，工程师
直接用就是了。但是如果真的要从定义出发，很多非常常用的函数，就很难做傅立叶变
换。

比如冲击信号，阶跃信号，或者高斯分布，要严格的定义的话，需要用泛函的知识。前
面的讨论就是这些知识的基础。

当然如果不研究数学，并不影响任何人用这些结论。

理解傅立叶变换基本的性质，稍微看一些调和分析，泛函的书（如果你觉得有必要知道
那些列表是怎么来的），多想想为什么要用卷积来描述系统对信号的响应（对卷积的理
解很可能是最重要的），这些基本问题个人认为是核心。

而且可以看到，同样是傅立叶分析，大家的讨论却是大相径庭，有从estimation的角度
，有从纯数学的角度，等等。这也能说明这个理论的重要，和它广泛的应用。(valetine)



A33：

说到Entropy，刚好正在写一点东西。忍不住再说两句。尽量用大白话说。

同一个信号，可以通过各种基底B和系数c的表达。比如我们可以算H(c)，那么这个熵实
际上就表达了待表达信号与基底的相似性。或者也可以说，是用那个基底来表达这个待
表达信号的复杂程度。

如果直接对原信号x求H(x)，那实际上默认了基底是I，如果用Fourier Basis来求，那么
默认了基底是exp(i \omega t)。

但是如果用Fourier基底表达大白纸上一个小黑块儿，显然就没有用空域直接表达来得方
便。同理，如果在时域表达一个[屏蔽]信号，就不如Fourier更好地表述了其内蕴的物理模
型。

总结一下：从Entropy的角度，我们可以看出在某种表达的复杂程度，尽量选择那些有物
理背景的表达，会使得分析的难度大大简化。


具体地说，通讯里面信息很多是承载在周期变化的物理模型上的，对于波的分析，自然
Fourier会有一定优越性了。


Q4:谈谈卷积

1，卷积本身是一个理论的，convolution calculus。

刚开始学信号系统的话，一般总会对这个操作感到奇怪，

比如信号 f(x), LTI系统冲击响应 g(x)

为什么一个LTI系统对信号的响应是 f(x)和g(x) 的卷积？而且什么是卷积呢？

要比较让人满意的理解这个问题，一般是需要一点数学知识的。



稍微离点题，一般的说，函数可以理解为把一些点映射到另一些点上的操作，

如果我们现在要建立一个操作，可以把一些函数映射到另一些函数上，我们说这个操作
是operator. 一个简单的对函数的操作，

可以是微分 df(x)/dx，积分 \int f(x)，等等.

那么系统就是一个operator L，输入一个信号 f(x)，输出一个信号 u(x)。表示成L(
f(x) ) = u(x)

现在想象一个LTI离散系统，我们放入一个冲击 delta(x)，系统输出信号 g(x), 如果
我们把输入信号分解成很多 c(t) delta(x-t)的和，c(t)表示信号在某个时间的大小（如
果是复数的话，还有相位），t表示延迟的多少，那么因为是线性系统，我们可以把输出
叠加，而且是非时变系统，所以每个 delta(x) 的响应仅仅是时间上的延迟。 所以输出
的结果就是

  \sum c(t) g(x-t)

就是所谓的离散和的形式。同样的道理，如果系统是连续的，那么这个和的形式就变成
积分。我们称为卷积。


2,
现在我们试图来解释，

为什么傅立叶变换后，时域上的卷积，变成频域上的乘积？

当然我们可以从定义出发，做 f(x) * g(x) 的傅立叶变换，然后换变量，就可以分成
F

(jw) 和 G(jw) 的乘积。 但是这个基本上是做数学游戏，不是让人觉得满意。

现在我们换个角度来考虑。

首先要我们需要LTI系统的一个性质，频率响应。

简单的说，一个LTI系统对于正弦信号的输出，也是一个正弦信号，而且信号的周期不
变，变换的是信号的幅度和相位。这个特点本质上是因为 e^{jwx} 是微分算子的特征方
程，就是说对 e^{jwx} 求导以后，还是它本身，变化的仅仅是幅度和相位。

d e^{jwx} / dx  = jw e^{jwx}

从这里自然就会展开去很多概念，比如传输方程，特征根等等。

然后我们来考虑 函数 f(x) = e^{jnx}, n 是自然数

这个函数周期为 2 pi/n.  而且有一个非常重要的性质就是，e^{jnx}，e^{jmx}

在 [0,2pi) 上的积分满足

\int e^{jnx} e^{-jmx} = 0 , 如果 n 不等于 m;

\int e^{jnx} e^{-jmx} ~= 0 ，如果 n=m。

我们称这个性质为函数垂直。我们可以把自然数扩展到所有实数，积分从[0,2pi)扩展
到

(-inf, +inf)，那么 e^{jwx} w 属于实数, 构成一个垂直的坐标系。

最后我们考虑傅立叶变换。

F(jw) = \int f(x) e^{jwx} dx

有了垂直坐标系的概念后，我们可以把傅立叶变换理解为一个函数在不同特征方程的分
量。

比如说，f(x) = cos(x), 一个周期 2pi 的信号，那么 F(jw) 就是两个在 -1 和 +1
的冲击。之所以我们把信号放在频域里，就是因为不同频率的信号，它们相对与一个内
积（这里的内积就是以上的积分）是垂直的。

有了以上的概念以后，就可以理解卷积定理了。

3,有了特征方程垂直的概念后，我们来看卷积定理。



首先我们做傅立叶变换，把信号 f(x) 分解到不同的特征方程 e^{jwx}上。

对于确定的 w，F(jw) 就是这个数，表示 f(x) 在e^{jwx}上的分量。

然后我们让 w 变化，于是 F(jw) 是一个函数，我们称它为 f(x) 的频谱。

前面提到LTI系统的频响，

输入 e^{jwx}， 输出 g(jw) e^{jwx},变化的是幅度和相位，这些信息都包含在系数 g
(jw) 中。

现在我们让 w 变化，可以测出系统的频响 G(jw)，到此为止，我们已经把 f(x) 分解
，又得到系统频响，那么运用叠加的性质，

线性系统的输出很自然就是

    G(jw) F(jw)
--
  有两样东西，我们愈加持久的加以思索，他们就愈使心灵充满日新又新，有加无已的景
仰和敬畏——在我们头上的灿烂星辰和在我们心中的道德法则，我毋需寻求它们或仅仅推
测它们，仿佛他们隐藏在黑暗之中或在视野之外逾界的领域，我看到他们在我面前，把它
们直接与实存的意识连接起来。
                                      －－－－伊曼纽尔 康德


[ 此帖被北极的鱼在2007-11-16 19:53重新编辑 ]

好贴好贴~~~~~~~