50浮云求达人解答一个博弈问题
考虑这样一个合作博弈：a、b、c、投票决定如何分配100万，他们分别拥有50％、40％、10％的权力，规则规定，当超过50%的票认可了某种方案时才能通过。那么如何分配才是合理的呢?按票力分配，a50万、b40万、c10万c向a提出：a70万、b0、c30万b向a提出：a80万、b20万、c0……

　　权力指数：每个决策者在决策时的权力体现在他在形成的获胜联盟中的“关键加入者”的个数，这个“关键加入者”的个数就被称为权利指数。

　　夏普里值：在各种可能的联盟次序下，参与者对联盟的边际贡献之和除以各种可能的联盟组合。

　　次序 abc acb bac bca cab cba
　　关键加入者 a c a c a b

　　由此计算出a,b,c的夏普里值分别为4/6,1/6,1/6
　　所以a,b,c应分别获得100万的2/3,1/6,1/6。
这里的4/6,1/6,1/6 怎么得来的?要求解答过程
付:
假设对于ｎ个参与人组成的可转移支付为ｖ的联盟博弈（ｎ，ｖ），由定义，我们可以得到参与人ｉ的夏普里值的具体计算公式为：
φｉ（ｎ，ｖ）＝｛∑Ｒ［ｖｉ（ｓ）－ｖ－１（ｓ）］｝／ｎ！
其中，Ｒ是ｎ个参与人的排列，Ｒ有ｎ！个，ｓ为Ｒ中的一个排列，ｖｉ（ｓ）为包括参与人ｉ及在他之前的参与人集合组成的联盟的支付值，ｖ－１（ｓ）为在他之前的参与人（不包括ｉ）集合的联盟的支付值。通过上述定义，我们可以看到：（１）ｖｉ（ｓ）－ｖ－ｉ（ｓ）是一种排列下，参与人ｉ的边际贡献；（２）参与人的夏普里值为他对联盟的边际贡献之和除以各种可能的联盟组合，因此φｉ（ｎ，ｖ）≤Ｖ；（３）所有的参与人的夏普里值之和为ｖ；（４）夏普里值φｉｉ（ｎ，ｖ）为期望贡献；（５）夏普里值得到的前提是各博弈联盟形成的可能性是均等的。


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