第一章：
Singnals and System（信号与系统）
1－1：continuous-time and discrete-time signals（连续时间与离散时间信号）
信号：信息的载体。
在信号与系统分析中，信号的表达式为函数（functions）
P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables（[屏蔽]自变量）。
例如：关于某导线电流强度对应不同时间的函数I(t)；等比数列的某一个数对应其序号的函数a[n]=b^n。
自变量的定义域为连续的时间段（有限或无限）的信号（函数）称为连续时间信号x(t)
自变量的定义域为间断的时间点（一般地，归一为整数点…－1，0，1，2…）的信号称为离散时间信号x[n]，又叫序列（sequences）。两者有相似处，离散时间函数（又称为离散时间序列）可以看作连续时间函数对整数点时间进行抽样得到，但两者计算上有很大区别。
信号（函数）对应某一自变量值的信号函数值大小称为信号的幅度（phenomenon）。例如x(t)=2t，在t=3时x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。

Signal energy and power（信号的能量与功率）
把信号看作电流，该电流在某一段时间内流过1欧姆的电阻产生的能量和平均功率(average power)便是信号在该段时间的能量与功率。因此可得在t1~~t2内信号x(t)的能量为：
E=∫(t1~t2)(|x(t)|^2)dt，
而相应这段时间的功率则为
P=E/(t2-t1)
信号在整个定义域的能量
E∞=（limT→∞）∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt
信号在整个定义域的平均功率
P∞=(limT→∞)(1/2T)∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt
     相应的，对于离散时间信号则有P6-7(1,7)(1,9)(这个东西要输入太困难了，呵呵)
显然，对于一个信号在无穷区间的能量与平均功率有三种可能：
平均功率无穷大，总能量无穷大（2）平均功率有限，总能量无穷大（3）总能量有限，平均功率无穷小（也是有限）


1-2:Transformations of the independent variable（自变量的变换）
自变量的变换就是对信号x(t)或x[n]的自变量t或n进行相应变换，由此会影响信号。
time shift（时移），将x(t)/x[n]变成x(t-t0)/x[n-n0]。结果是使信号形状不变，但在位置上相对原来的信号有移位。注意：当t/n0>0时，信号向右移动，反之则向左。
time reversal（时间反转）将x(t)/x[n]变成x(-t)/x[-n]。新信号等于把原来信号以t=0/n=0为轴反转得到。
time scaling（尺度变换）将x(t)变成x(at)，a>0，则新信号等于把原信号在横坐标上压缩或拉伸为原先的1/a。例如x(2t)信号等于横向压缩为原先1/2。离散信号的时间尺度变换很复杂，因为它只能在整点取值。

Periodic signals（周期信号）
这是非常重要的一类信号。
连续周期信号定义：若某一连续信号选x（t）对任意t有
x(t)=x(t+T)
则x(t)称为周期信号，T(不为0)称为周期（period）
一个周期信号有无穷多个周期，其中最小的T0称为基波周期或基本周期（fundamental period）。其余周期T都是T0的整倍数
对于常数信号x(t)=C，不存在基波周期的概念，这是一类特殊的周期信号。
不具有周期性质的信号叫非周期信号（aperiodic signal）
类似的，离散信号中满足x[n]=x[n+N]的叫做周期信号，N为周期。最小的N0为基波周期。但常数信号有基波周期为1！

Even and odd signals（偶信号与奇信号）
从t=0轴反转后与原信号重合的信号称为偶信号,即满足x(t)=x(-t)
从t=0轴反转后与原信号相反的信号称为奇信号，即满足x(t)=-x(-t)
任何一个信号x(t)都可以分解为一个偶信号和一个奇信号的和，分别叫做这个信号x(t)的偶部（even part）和奇部（odd part）
Ev{x(t)}=(1/2)[x(t)+x(-t)];   Od{x(t)}=(1/2)[x(t)-x(-t)]，
离散也完全一样。

1－3 Exponential and Sinusoidal Signals（指数信号与正弦信号）

comtinuous-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(连续时间复指数信号与正弦信号)
x(t)=Ce^(at)。
一般而言C与a都是复数。
实指数信号(real Exponential signal)：C和a都是实数(real)。X(0)=C,a>0，信号随时间增长；a<0，信号随时间衰减

周期复指数和正弦信号（periodic complex Exponential and Sinusoidal Signals）
周期复指数信号：a为纯虚数（imaginary），则x(t)=e^(jw0t)
由于e^ja=e^j(a+2π),或e^（j2π）＝1，因此x(t)=x(t+(2π/w0))
T0=2π/|w0|为基波周期。
X(t)=Acos(ωt+φ)或x(t)=Asin(ωt+φ)称为正弦信号，也是基波周期为T0=2π/|ω|的周期函数。
由欧拉公式（Euler’s relation）:e^(j(ωt+φ))= cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)可以完成指数函数与正弦函数的相互表达和转换
cos(ωt+φ)＝（1/2）（e^(j(ωt+φ))＋e^(－j(ωt+φ))）
sin(ωt+φ)＝(1/2j) （e^(j(ωt+φ))－e^(－j(ωt+φ))）

对于周期复指数信号和正弦信号，基波周期为2π/ω, |ω|称为基波角频率（fundamental frequency）
对于周期复指数信号和正弦信号而言，很明显其能量与功率的关系是在无穷区间的有限平均功率和无穷总能量。

A set of harmonically related complex exponentials （一组成谐波关系的复指数信号）
一个重要的概念。
指的是这样一组复指数信号φk(t)=exp(jkω0t),k=0,1,-1,2,-2……显然这些信号都是周期信号，具有共同周期2π/ω0。这样一组复指数周期信号就称为一组谐波。

一般复指数信号：
x(t)=Cexp(at)，其中C=|C|exp(jθ),a=r+jω0
则x(t)=Cexp(at)=|C|exp(rt)exp(j(ω0t+θ))
通过包络分析，可以看出信号包络|C|exp(rt)的走向（21页）



Discrete-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(离散时间复指数和正弦信号)
指数信号、正弦信号、欧拉公式等都与连续类似。
不过更方便在于可以令x[n]=Cexp(βn),当a=expβ,则x[n]＝C（a^n）
离散指数周期信号：
x[n]=exp(jωn)的周期分析：
与连续信号x(t)=exp(jωt)周期为2π/ω不同，由于n只能取整数值，因此周期（如果有周期的话）必须是整数。
当2π/ω为有理，则周期基波T0＝(2π/ω)k，k是使T0为正整数的整数。
例如：ω＝π/4，则T0=8(k=1); ω＝3π,则T0=2(k=3)
当2π/ω为无理数，则x[n]=exp(jωn)不是周期信号。因为无论什么N都不能使ωN=2kπ，也就是不能使得exp(jωN)=1，也就是不能使得exp(jωn)＝ exp(jω(n+N))

离散指数周期信号的另一特性：exp(jωt)= exp(j(ω+2π)t)
也就是说，离散指数信号的一组基波频率为2π/N0的谐波只有N0个不同的指数信号（而在连续指数周期信号中一组有无数多个）

4：The unit impulse and unit step functions（单位冲激与单位阶跃函数）

离散时间单位冲激和单位阶跃
单位冲激/单位脉冲/单位样本（unit sample）δ[n]：
n=0时，δ[n]=1，其他时候δ[n]=0
单位阶跃u[n]：
n<0时，u[n]=0;n>0时，u[n]=1
δ[n]是u[n]的一次差分（first difference相当于连续中的微分）：
δ[n]＝u[n]-u[n-1]
u[n]是δ[n]的动求和（running sum，相当于连续中的不定积分）：P31公式1.67
δ[n]具有采样性：x[n] .δ[n-n0]=x[n0].δ[n-n0]


连续时间单位阶跃和单位冲激函数
连续时间中的单位阶跃和单位冲激都是理想化的奇异函数。
单位阶跃函数u(t)：t>0,u(t)=1;t<0,u(t)=0
单位冲激函数δ（t）：一个特殊函数。仅在t=0时有非零函数值。函数值为无穷大。换言之，这个函数宽度为0，高度为无穷大，而积分面积为1
δ（t）为u(t)的微分；u(t)为δ（t）的积分。

δ（t）的采样性：x(t).δ（t-t0）=x(t0).δ（t-t0）


1.5      Continuous-time and Discrete-time System（连续时间和离散时间系统）

在信号与系统中，系统是指这样一些元件的互联，通过它，当输入一个信号（input），能够得到一个输出信号(output)。信号与系统根本上就是研究输入、输出与系统三者的关系。
连续时间系统即输入和输出都是连续时间信号的系统；离散时间系统即输入和输出都是离散时间信号的系统。

系统的互联(interconnections of systems)
包括三种简单连接：
串联（series）或级联（cascade interconnection）
并联（parallel interconnection）
反馈联结(feedback interconnection)
以及各种简单连接组合而成的混联

系统联结往往采用方框图（block diagrams）


1.6      Basic system properties(基本系统性质)

记忆系统与无记忆系统（systems with and without memory）
如果某系统的输出信号的每个时刻的值仅仅取决于输入信号在该时刻的值而与输入信号在之前或之后时刻的值无关，则称为无记忆系统。反之如果在某一时刻的输出值还与其他时刻的输入值有关则称为记忆系统。

可逆性与可逆系统（invertibility and inverse system）
可逆系统的条件：不同输入必然导致不同输出，则称该系统为可逆（invertible）的。
对可逆系统存在一个逆系统（inverse system）使得把原系统的输出信号输入到逆系统中，则最终的输出信号便是最初的输入信号。

因果性（causality）
一个系统任何时刻的输出只决定于该时刻以及该时刻以前的输入，而与该时刻以后的输入无关，则称为因果系统（causal），或称为不可预测系统(nonanticipative)
所有的无记忆系统都是因果的。

稳定性（stability）
如果对于任何一个有界的输入，该系统的输出都是有界的则称为稳定系统。

时不变性（time invariance）
概念：如果系统的参数不随时间改变，则系统是时不变(time invariant)的。
如：y(t)=x(t)+x(t-3)
反之则系统是时变（time variant）的：
如y(t)=t.x(t)
对于时不变系统，输入信号发生时移则输出信号发生相同的时移：
x(t)→y(t),则x(t-t0)→y(t-t0)

线性(linearity)
线性系统(linear system)具有的重要特性是叠加性质（superposition property）
ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)+by2(t)
该系统也可等效为两个系统：
可加性（additivity）：x1+x2→y1+y2
比例性（scaling）或齐次性(homogeneity)：ax1→ay1（a为任意复数）

增量线形叠加（incrementally linear systems）
任意输入信号的输出y(t)=yh(t)+yp(t)，其中yp(t)是一个线形输出。
换言之，对任意两个输出的差y1-y2=y1p-y2p是一个线形的表达式。

本章小结：
本章是信号与系统的基础概念集合，需要掌握以下知识点：
连续时间信号与离散时间信号的基本概念和表达；
信号能量与平均功率的概念和表达式；
自变量的变换（时移、时间反转和尺度变换）
周期信号的定义，周期和基波周期的概念
偶信号与奇信号的概念，信号的偶部和奇部的计算；
指数信号与正弦信号的概念与互相转换；
连续周期指数函数exp(jw0t)的基波周期、基波频率的概念
成谐波关系的复指数信号的概念；
离散时间指数周期信号x[n]=exp(jωn)的周期分析；
离散时间单位冲激和单位阶跃的概念和关系；
δ[n]的采样性；
连续时间中的单位阶跃和单位冲激的概念和关系；
δ(t)的采样性；
连续时间和离散时间系统的概念；
系统的三种互联；
基本系统性质6条的概念和判断。

Linear Time-invariant System（线性时不变系统）

2-1:Discrete-Time LTI System:The Convolution Sum（离散LTI系统：卷和）
本节的关键在于：把任意离散信号x[n]表示为若干个脉冲信号的叠加。这样，信号x[n]输入某一个系统的输出y[n]，便可以等效为把这些脉冲信号分别输入这个系统之后，再把它们的输出结果叠加。当系统是LTI系统时，对应每个脉冲信号输入的输出函数都可以由对应单位冲激函数的响应δ[n]的输出h[n]进行时移和乘以系数得到。把每个脉冲输入的输出叠加便得到了输入信号x[n]的输出y[n]。

用脉冲信号表示任意信号：
可以把x[n]看作x[0].δ[n]+ δ[n-1].x[1]+ δ[n-2].x[2]……即P75 2－2式
对一个系统LTI，当输入信号为δ[n]时的输出信号h[n]称为单位冲激响应（unit impulse response）
卷和
而对于每个x[k].δ[n-k]，输入系统后的输出为hk[n]=x[k].h[n-k],因此，x[n]输入后的输出y[n]便应当是全部hk[n]（k从负无穷取到正无穷）的累加。换言之得到了P78 2-6式（公式请自己看啦，输入太麻烦了，呵呵呵呵）
该公式称作x[n]和h[n]的卷和或卷积和（Convolution Sum）。
写作x[n]*h[n]。是一种基本的运算方式，由两个函数卷和得到一个新函数。对LTI系统而言，就是输入x[n]与单位冲激响应卷和，得到输出信号y[n]。
x[n]*h[n]=y[n]
对于有限长序列卷和的运算：竖式法比较简单。

2－2：continuous-time LTI systems:the convolution integral（连续时间LTI系统：卷积）
与离散系统类似，本节的核心也是把输入的一个连续时间信号从时间上拆分成无数个冲激信号的叠加，然后对于每个冲激信号去求它输入这个系统得到的输出，再把所有的这些输出叠加起来，从而得到原信号输入系统的输出。

用冲激信号表示连续时间信号：
对于任一个连续信号x(t)，可以从时间上把它拆成无数个小的“矩形”。每个矩形宽度为△，高度为x(k△)（k是该矩形的序号，原点处为0）这样信号x(t)可以看成这无数个矩形信号的叠加。而当△趋向无穷小，叠加求和趋向于积分，由此得到书上P92公式2.27。
卷积
由于对输入δ(t)，系统的输出为h(t)（单位冲激响应），因此对于每一个冲激信号x(τ).δ(t-τ)，输入系统后得到的响应为x(τ).h(t-τ),因此对于LTI系统而言，整个的输出y(t)就等于对应的积分公式P97 公式2－33。该运算称为x(t)与h(t)的卷积（convolution integral），写作x(t)*h(t)
简言之，对于LTI系统，其输出信号y(t)可由输入信号x(t)与系统单位冲激响应h(t)卷积得到。

2－3Properties of LTI system（线性时不变系统的性质）
首先是卷积的运算法则：（LTI系统的性质）
交换律（commutative）：x(t)*h(t)=h(t)*x(t)
分配率（distributive）:x(t)*(h1(t)+h2(t))=x(t)*h1(t)+x(t)*x2(t)
                                   (x1(t)+x2(t))*h(t)=x1(t)*h(t)+x2(t)*h(t)
结合律（associative）：x1*h1*h2=x1*(h1*h2)

接下来是LTI系统的一些性质分析判断
记忆系统与无记忆LTI系统（LTI systems with and without memory）
对一个无记忆的LTI系统而言，其单位冲激响应必然是h(t)=Kδ(t),h[n]=Kδ[n]，因此其输出必然有y(t)＝kx(t)

LTI系统的可逆性（invertiblity of LTI systems）
对一个可逆LTI系统系统而言，如果它的单位冲激响应为h1(t)，则它的可逆系统的单位冲激响应为h2(t)，且满足h1(t)*h2(t)＝1

LTI系统的因果性（Causality for LTI system）
因果系统的单位冲激响应h(t)显然有t<0时h(t)=0
对于一个系统而言，这种情形被称为初使松弛（initial rest），也就是直到从某一时刻系统得到一个非0的输入以前，系统的输出一直为0。
对于当t<0时候x(t)=0的信号又称为因果信号（causal signal）。因果系统的充要条件是，它的单位冲激响应是一个因果信号。

LTI系统的稳定性（stability for LTI system）
对于LTI系统判断稳定性：
离散时间系统：绝对可和（absolutely summable），公式2－86
连续时间系统：绝对可积(absolutely integrable)，公式2－87

LTI系统的单位阶跃相应（tne Unit Step Response of an LTI system）
即对于LTI系统，当输入为u(t)或u[n]时的输出，写作s(t)或s[n]
有：      s(t)=u(t)*h(t)；s[n]=u[n]*h[n]
h(t)为s(t)的导数，s(t)为h(t)的积分。

2－4Causal LTI system described by differential and difference equations（微分和差分方程描述的因果LTI系统）
本节更多属于高数内容，对于微分（连续时间）和差分（离散时间）方程的解法。值得说明的是任何一个微分或者差分方程实际上是对某一个连续或者离散系统的输入与输出关系的一个表达。往往还需要给出初时条件才能得出输出的表达式。
具体的方法请自己看书掌握。

2－5singularity functions（奇异函数）
奇异函数是一种理想化的函数，以连续时间的单位冲激信号δ(t)为基本，对其进行微分和积分运算得到的一族信号都称为奇异函数。
δ(t)又写作u0(t)，它的一次微分为u1(t),二次微分为u2(t)……δ(t)的一次积分即单位阶跃信号u(t)又写作u-1(t)，二次积分tu(t)为u-2(t)……
奇异函数uk(t)的主要特性是：x(t)*uk(t)的结果是x(t)的k次微分（k为负数则是积分）
例如，x(t)*u2(t)结果为x(t)的二次微分;x(t)*u-3(t)的结果为x(t)的三次积分。

本章小结：
本章是重点章节之一，内容是从时域分析LTI系统。信号与系统的核心在于研究输入、输出和系统三者的关系，而我们的指导思想便是把复杂的信号分割成简单的信号的叠加，把这些简单信号分别输入后再把输出叠加得到原信号对应的输出。本章主要便是从时间上把信号x(t)或x[n]切割为有限或无限个脉冲信号的叠加，由于每个脉冲信号的输出可以由单位冲激响应h(t)或者h[n]加上系数和时移很方便的得出，再对这些输出叠加或积分得到对应的输出。
后面则是关于LTI的一些性质分析。
本章要求掌握的知识点：
用脉冲信号x[k].δ[n-k]的叠加表示信号x[n]
用脉冲信号x(τ).δ(t-τ)的积分表示信号x(t)
卷和公式x[n]*h[n]的意义及计算
卷积公式x(t)*h(t)的意义及计算
LTI系统卷积的三大定律
无记忆LTI系统和因果LTI系统的特性
LTI系统稳定性的判断
奇异函数uk(t)的理解和性质掌握

第三章
Fourier series representation of periodic signals(周期信号的傅立叶级数表示)
3－1（不要求）

3－2 the response of LTI system to complex exponentials（LTI系统对复指数信号的响应）
我们很容易发现，复数指数信号输入LTI系统可以得到对其增加系数的响应，即：
对连续时间LTI系统：exp(st)→H(s).exp(st)
对离散时间LTI系统：z^n→H(z).z^n
其中，H(s)和H(z)地表达式在P183 式3-6,3-10，都是与t和n无关而只与s和z有关的表达式。
也就是说，对指数信号输入得到的输出，仅仅等于原信号乘以一个与自变量无关而与频率有关的式子。这使得我们可以非常方便的对它进行处理。

如果一个输入信号能表达为若干个指数信号的叠加，那么对它的输出的表达也会非常方便。例如：
a1.exp(s1t)+a2.exp(s2t)→a1.H(s1).exp (s1t)+a2.H(s2).exp(s2t)
本章研究的，就是多大范围的信号可以表达为类似P184,3-13和3-15的表达方式，分解为指数信号的线形叠加？如果进行分解？

3－3：Fourier series representation of continuous-time periodic signals（连续时间周期信号的傅立叶级数表达）
本节研究把连续时间周期信号分解为若干个周期信号的叠加的傅立叶级数。

成谐波关系的复指数信号的线性组合（Linear combinations of harmonically related complex exponential）
如前，成谐波关系的一组复指数信号指的是形如Φk(t)=exp(jkω0t)的一组指数信号，其中k=0,1,-1,2,-2……显然这样一组信号具有公共的周期为T0=2π/ω0，因此这样一组信号的线性组合必然有周期为T0。
把这样一组信号ak.Φk(t)=ak.exp(jkω0t)进行线性组合如186页3－25公式的形式，形成的周期信号x(t)，其中的每一个分量ak.Φk(t)=ak.exp(jkω0t)称为谐波分量。K=0时的a0称为直流分量；k=正负1时称为一次谐波分量（first harmonic components）或基波分量(fundamental components)，k=2时称为二次谐波分量（second harmonic components），以此类推。

傅立叶级数，研究的便是如何把一个周期为T0的周期信号分解为若干个具有公共周期为T0的信号Φk(t)=exp(jkω0t)的的线形组合。

连续时间周期信号傅立叶级数表示式的确定（Determinbation of the Fourier series representataion of a continuous-time periodic signal）
假设一个给定的周期为T0的周期信号x(t)可以表达为上面所说的指数信号的线性组合，则可以推导出其系数对应每一个谐波分量Φk(t)=ak.exp(jkω0t)的系数ak的表达式。
这就是P191的公式3－38和3－39
3－38是把具有基波周期T0=2π/ω0的周期信号x(t)分解为指数信号的叠加的公式，称为综合公式（synthesis equation）；3－39是对应具体k值的每一个谐波系数ak的计算公式，称为分析公式（analysis equation）。系数{ak}的这一组合称为x(t)的傅立叶级数系数（Fourier series coefficients）或者频谱系数（spectral coefficients）。每一个ak表示对应的k倍频率的指数信号分量在总信号中所占地比例度量。

3－4：Convergence of the Fourier series（傅立叶级数的收敛）
表达式3-38并不是对所有的周期信号x(t)都成立。
因为根据分析公式3－39推导，在有些情况下会得出无穷大的系数ak（即傅立叶级数系数不收敛）。本节判断在何种情况下傅立叶级数是收敛的。

收敛条件的判断A：在一个周期内平方可积（P197，3－51式）即可判断该周期信号x(t)的傅立叶级数收敛。

另外一组条件判断：狄里赫里（Dirichlet）条件。
当同时满足下列三个条件，则可判断该周期信号x(t)的傅立叶级数收敛。
在一个周期内绝对可积（absolutely integrable）P197，3－56
在任意有限区间内只有有限个起伏变化
在任意有限区间内只有有限个不连续点，且这些不连续点上函数值是有限值。

3－5（不要求）
     
3－6：Fourier series representation of discrete-time periodic signals(离散时间周期信号的傅立叶级数)
对离散信号而言，也存在类似的分析。
对于一个周期N，构建以下的一组指数信号：
Φk[n]=exp(jkω0n)。其中ω0＝2π/N，k=整数。这样的一组信号称为成谐波关系的指数信号。显然这样一组信号具有公共周期为N，它们的线性组合得到的信号也具有周期为N。
又由于对离散信号，有
Φk[n]=exp(jkω0n)＝exp(jkω0n＋j2πn)= exp(jkω0n＋jω0Nn)=Φ(k+N)[n]
因此在一组基波频率为ω0＝2π/N的离散信号的谐波，总共只具有N个[屏蔽]的谐波分量。

周期信号傅立叶级数表示的确定（Determination of the Fourier series representation of a periodic signal）
如上，由于离散信号的谐波只具有N个[屏蔽]分量，因此离散信号的傅立叶级数，只有N个连续的Φk[n]线性组合。K可以任意取N个连续整数值，效果是一样的。
同样由P213的综合公式3－94和分析公式3－95确定。

3－7：不要求

3－8：Fourier series and LTI systems（傅立叶级数与LTI系统）
由前面所说，对于LTI连续与离散系统，当输入为x(t)=exp(st)或x[n]=z^n时，输出分别为：
exp(st)→H(s).exp(st)
z^n→H(z).z^n
H(s)与H(z)的计算式为P226 3－119和3－120
H(s)与H(z)分别称为连续LTI系统与离散LTI系统的系统函数(system functions)
对于连续系统而言，本章主要分析的是s=jω的特殊形式，此时的系统函数H(jω)即P227 3－121式称为系统的频率响应（frequency response）。因为一个系统的H(jω)其实表示的是该系统对不同频率ω的指数信号的放大倍数的函数。（例如，H(jω)当ω＝100时值为2，ω＝1000时值为3，含意就是该系统对角频率100的指数信号放大2倍，对角频率1000的指数信号放大为3倍。
而傅立叶级数的意义在于把一个周期信号x(t)分解为不同频率的指数信号的和，然后把每个分量ak.exp(jω0kt)输入LTI系统，得到响应为H(jkω0)ak.exp(jω0kt),然后再累加起来。公式为P228 3-124
根据不同的频率ω对应的频率响应H(jω)不同，系统对各指数信号分量的改变不同。这构成了我们系统滤波的原理。

3-9 Filtering （滤波）
滤波器即是一种LTI系统，根据前面说的LTI 系统对于不同频率ω的信号具有不同的H(jω)倍数改变的原理，可以对信号中具有某些频率的分量进行放大和保持而对另一些频率分量进行抑止或消除。
主要目的为改变信号频谱形状的滤波器称为频率成形滤波器（Frequency-shaping filters）。
例如，H(jω)= jω的系统，对于较大的ω有较大的放大倍数
主要目的为无失真地通过一些频率而显著地消除掉另一些频率的称为频率选择性滤波器（Frequency-selective Filters）
有几种基本类型的滤波器：
低通滤波器（lowpass filter）：对|ω|<ω0的频率分量通过而对高频分量过滤
高通滤波器（highpass filter）：对|ω|>ω0的频率分量通过而对低频分量过滤
带通滤波器（bandpass filter）：对|ω|在ω1和ω2之间的频率分量通过而对高频和低频分量都过滤
其中，边界的频率（即上面公式中的ω0. ω1, ω2称为截止频率（cutoff frequencies）。能通过的频率带称为通带（passband）。被过滤掉的（阻止）的频率带称为阻带（stopband）
理想滤波器与现实滤波器的差别。

本章小结：
本章开始进入频域分析。基本原理还是把一个复杂信号分解为若干简单信号的线性，然后分别输入LTI系统之后再对输出进行线形叠加以得到原信号的输出。
由于对于LTI系统，周期指数信号具有输入和输出之间的相似形式，因此我们尝试把信号分解为周期指数信号的叠加。
本章主要就是研究的对于周期信号的分解，即傅立叶级数。

本章要求掌握的内容有：
LTI对指数信号的响应形式；
成谐波关系的连续时间指数信号的概念；
连续傅立叶级数的综合公式和分析公式；
具体的计算应用；
傅立叶级数的收敛判断；
离散傅立叶级数的综合公式和分析公式；
利用傅立叶级数表达周期信号的输入输出关系；
滤波的概念理解

第四章：
The continuous-time Fourier Transform（连续时间傅立叶变换）

上一章，我们研究了如何把周期信号分解为指数信号的线形叠加，这样对于我们的信号处理是非常方便的。那么，能否对非周期信号进行类似的处理？本章便是研究由周期信号推导到非周期信号的扩展。

4-1：Representation of aperiodic signals:the continuous-time Foueier transform(非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换)
在第三章研究了把周期信号分解为指数信号叠加的傅立叶级数。其中，各频率的指数信号分量的系数ak又称为频谱。对ak作图称为频谱图。图中两根频谱线的间距是周期信号的基波频率ω0（也就是2π/T0）。
可以想象，如果周期信号的周期不断变大，即基波频率ω0不断变小，则频谱线的间距将渐渐变小，直到（在极端的时候）变得连续。
一个非周期信号的傅立叶变换，可以看作是周期信号的周期无限变大的结果。这时公式P287 4-3中的exp(jkω0t)趋向exp(jωt)，ak趋向(1/T)X(jω)，求和趋向积分，由此得到非周期信号的傅立叶变换公式：
P288 4-8,4-9
其中综合公式4-8是由一个连续信号的频域表达式X(jω)求得其时域表达式x(t)的公式，称为傅立叶反变换式（inverse Fourier transform）。
分析公式4－9是由一个信号的时域表达式x(t)求得其频域表达式X(jω)的公式，称为傅立叶变换（Fourier transform）或傅立叶积分（Fourier integral）
这种一个信号的时域（time domain）表达式x(t)和频域(frequency domain)表达式X(jω)之间通过傅立叶变换与反变换建立联系x(t)←→X(jω)，称之为一个傅立叶变换对（Fourier transform pari）
注意：时域表达式x(t)是一个关于时间的函数，表达的是在不同时间点函数幅度值的不同，自变量为时间t；频域表达式X(jω)表达的是把信号分解为不同频率的指数信号的组合（只不过这些指数信号的频率变化是连续的），这些不同频率的指数信号在总信号中所占分量的大小,自变量为频率ω。两者都是同一信号的不同表达方式，而不是不同的信号。两者之间的转换（即傅立叶变换与反变换）也是同一信号的由时域表达式推导频域表达式或由频域表达式推导时域表达式的过程。

傅立叶变换的收敛与傅立叶级数类似：
如果某非周期信号的总能量（即时域绝对值平方积分）有限则该信号傅立叶变换收敛。
或者，同时满足下列三个条件的信号傅立叶变换也收敛：
在整个定义域绝对可积
任何有限区间只有有限个起伏
任何有限区间只有有限个不连续点，且每个不连续点都是有限值。

4-2：The Fourier for periodic signals（周期信号的傅立叶变换）
显然，周期信号是不满足上面的收敛判断式的，而且把周期信号x(t)代入傅立叶变换公式，得到的积分结果也是无穷大。那么如何求它的傅立叶变换？
教材上通过傅立叶反变换来求的。由于周期信号的傅立叶变换应当正比于其傅立叶级数系数，且根据计算又是无穷大，我们猜测是一个冲激。因此通过求频域冲激信号的傅立叶反变换，我们得到了以下傅立叶变换对：
exp(jω0t)←→2πδ(ω-ω0)
由于对任何周期信号都可以用傅立叶级数分解为若干个周期指数信号的线性叠加，因此可以得到P297 4-22。即任何一个周期信号，其傅立叶变换为一些冲激串。冲激的大小正比于其傅立叶级数的系数。

4-3：Properties of the continuous-time Fourier transform（连续时间傅立叶变换的性质）
本节主要介绍了连续时间傅立叶变换的性质。这些性质都可以由两大公式本身的运算推导出来。熟练掌握不但有利于我们进行变换与反变换，更有利于我们运用傅立叶变换，解决以后的一些实际问题。

线性：Linearity：
x1(t)←→X1(jω),x2(t)←→X2(jω)，则
ax1(t)+bx2(t)←→aX1(ω)+bX2(jω)

时移性质：（Time shifting）
x(t)←→X(jω)，则x(t－t0)←→X(jω)exp(-jωt0)

共轭及共轭对称性：（Conjugation and Conjugate Symmetry）
x(t)←→X(jω)，则x* (t)←→X* (-jω)
这里的*表示共轭。
特别，对于x(t)为实函数，由于x* (t)=x(t)，因此x* (jω)=x(-jω)，称为共轭对称性。

再进一步可以论证，实信号傅立叶变换为频率的偶函数，而纯虚数信号的傅立叶变换为频率的奇函数。换言之，信号时域函数的实部对应频域频域函数的偶部，而虚部对应频域函数的奇部。

微分与积分（Differentiation and integration）
x(t)←→X(jω)，则dx(t)/dt←→jωX(jω)
x(t)的不定积分←→(1/jω)X(jω)+πX(0)δ(ω),右边的冲激函数反映了积分产生的直流分量。

时间与频率的尺度变换（Time and frequency scaling）
x(t)←→X(jω)，则x(at)←→(1/|a|).X(jω/a)

对偶性（Duality）
通过上面的一些性质我们可以发现，傅立叶变换与傅立叶反变换之间似乎有一些相似的形式，事实上这正是有两个变换式本身的形式相似决定的。
如果x(t)←→X(jω)
则X(jt)←→2πx(-ω)
运用这一性质我们可以由前面的性质自己推导出其他的一些性质
例如，由微分性质：
x(t)←→X(jω)，则dx(t)/dt←→jωX(jω)
和对偶性可以得出：
x(t)←→X(jω)，则-jtx(t)←→dX(jω)/dω

由时移性质：
x(t)←→X(jω)，则x(t－t0)←→X(jω)exp(-jωt0)
和对偶性可以得出：
x(t)←→X(jω)，则x(t)exp(jω0t)←→X(j(ω-ω0))
等等。

帕斯瓦尔定理（Parseval’s relation）
P312 4－43
表明了时域和频域总能量的积分在数值上的关系。有时候可以用来解决一些问题。

4－4：The convolution property（卷积性质）
这是最重要的性质。
x1(t)←→X1(jω)，x2(t)←→X2(jω)，则x1(t)*x2(t)←→X1(jω).X2(jω)
即时域的卷积对应频域的乘积。
而对于我们的信号与系统分析而言，对于一个LTI系统，单位冲激响应h(t)的傅立叶变换即是其频率响应函数H(jω):
h(t)←→H(jω)
当输入函数为x(t)时，输出y(t)＝x(t)*h(t)，则有：
y(t)=x(t)*h(t)←→（傅立叶变换）X(jω).H(jω)＝Y(jω)
如此，将时域卷积与频域的乘积对应，实际上是建立了时域与频域之间的最重要的联系。再配合其他的傅立叶变换性质，可以把复杂的卷积、微积分关系式表示称为简单的代数关系式，在我们的信号系统研究中将带来无与伦比的方便。
例如对已知输入x(t)、输出y(t)和系统单位冲激响应h(t)中的两个求第三个的问题中，可以把两个已知信号进行傅立叶变换，用简单的乘除法求出第三个未知函数的频域表达式，然后再进行反变换求得要求信号的时域表达式。
然而，能够用该方法进行分析的，必须是一个稳定的LTI系统。对于不稳定的LTI系统的分析将用后面的拉普拉斯变换来解决。

4-5：The multiplication property（相乘性质）
上一节证明了时域的卷积对应频域的相乘，据此以及对偶性质，可以推知时域的相乘对应频域的卷积：
r(t)=s(t)p(t)←→R(jω)=(1/2π).P(jω)*P(jω)
一个信号去乘另外一个信号可以理解为用一个信号去调制（modulate）另一个信号的振幅(amolitude)，因此两个信号相乘又称幅度调制(amplitude modulation)，故相乘性质又称调制性质(modulation property)

具有可变中心频率的频率选择性滤波（Frequency-selective filtering with variable center frequency）
本小节主要介绍一种调制解调方式：
                y(t)
x(t)           ×       ×         x1(t)


            exp(jω0t)   exp(-jω0t)

该方式利用指数信号的频率搬移功能。
从时域上：
y(t)=x(t).exp(jω0t)   x1(t)=y(t).exp(-jω0t)=x(t).exp(jω0t).exp(-jω0t)=x(t)
从频域上：
exp(jω0t)←→δ(ω-ω0)   exp(-jω0t)←→δ(ω+ω0)
故Y(jω)=X(jω)* δ(ω-ω0)=X(j(ω-ω0))
X1(jω)=Y(jω)*δ(ω+ω0)=X(j(ω-ω0))*δ(ω+ω0)= X(jω)
换言之，从频域上，调制是把信号在频域上进行频域搬移，解调是进行一次相反的搬移将其还原。

4-6：Tables of Fourier properties and of basic Fourier transform pairs(傅立叶变换性质和基本傅立叶变换对一览表)
本节采用列表方式给出了连续时间傅立叶变换的一些基本特性，和一些常见的重要的信号的傅立叶变换对，应该牢记掌握。
P328-329

4-7：Systems characterized by linear constant-coefficient differential equations（用线性常系数微分方程表征的系统）
如第二章所说，线性常系数微分方程可以表征系统的特征。但从时域计算的方法要解出这个方程，或者要由输入求输出，输出求输入都是很麻烦的计算。但引入频域的傅立叶变换后，大大简化了我们的工作。
线性常系数微分方程的两边分别是输入x(t)和输出y(t)的各次微分的线性组合。从时域进行解需要设未知系数等等……而从频域解，直接对两边各次项进行傅立叶变换，则
d(k)x(t)/dt^k(x(t)的k次微分)←→(jω)^k.X(jω)
d(k)y(t)/dt^k(y(t)的k次微分)←→(jω)^k.Y(jω)
又，x(t)*h(t)=y(t)，则X(jω).H(jω)=Y(jω),即H(jω)=Y(jω)/X(jω)
这样，可以很方便地从频域通过简单的有理式乘除运算求到所求的信号，再通过傅立叶反变换可以求到时域表达式。该方法非常简单，大家可结合例题自己看。


本章小结：
本章完成的主要任务是，首先，在上一章周期信号“分解”成用指数信号线形叠加表示的基础上，通过周期趋向无穷大的极端推导，得出非周期信号的分解——傅立叶变换。从而引入了信号的频域表达式的概念。时域表达与频域表达是同一信号的不同表达方式，因此可以通过傅立叶变换和傅立叶反变换来相互转换。由于傅立叶变换具有的各个性质，尤其是线性、微分性质和卷积与相乘性质，可以非常 方便地处理一些在时域比较麻烦的问题，如线性常系数微分方程表征的系统的问题。
本章要求掌握以下知识点：
傅立叶变换和频域表达式的概念；
傅立叶变换和傅立叶反变换的公式；
傅立叶变换的收敛判定；
周期信号的傅立叶变换方法；
傅立叶变换九大性质；
常用傅立叶变换对；
运用常用傅立叶变换对和变换性质解决变换与反变换的题目
用傅立叶变换解线性常系数微分方程；

第五章：
The discete-time Fourier transform(离散傅立叶变换)

本章与上一章类似，是对离散信号进行傅立叶变换从而实现时域和频域的转换。本章只要求5－1节。掌握傅立叶变换与傅立叶反变换的公式。本章估计不会出考试题，但却是第九章的基础。

5-1：Representation of aperiodic signals：The discrete-time Fourier transform（非周期信号表示：离散傅立叶变换）
用类似连续的推导法，对非周期离散信号x[n]可以看作周期信号的周期N趋向无穷大时的极端，这时累加成为积分。但由于离散周期信号的傅立叶级数只有N项，因此非周期信号的积分区域也只有一个周期。
由此可得P361 5－8，5－9公式
其中，综合公式5－8是用已知频域表达式X(exp(jω))来求时域表达式x[n]，称为离散傅立叶反变换式（discrete-time inverse Fourier trabsform）；分析公式5－9是用已知时域表达式x[n]求频域表达式X(exp(jω))，称为离散傅立叶变换式（discrete-time Fourier trabsform）。
这一对公式建立的一个离散信号的时域表达式与频域表达式之间的转换联系称为一个离散傅立叶变换对x[n]←→X(exp(jω))。
注意：离散傅立叶变换得到的频域表达式X(exp(jω))是一个以2π为周期的频域周期函数。

离散傅立叶变换的周期判断（Covergence issues associated with the discrete-time Fourier transform）：
离散傅立叶变换的收敛判断很简单，只要时域表达式x[n]绝对可和或者能量有限就行了（P366,5-13,5-14）
5－2～～5－9：不要求

第六章：
Time and frequency characterization of signals and systems（信号与系统的时域和频域特性）
本章其实是第四章和第五章的分析运用。介绍一些基本的分析方法。

6-1：The Magnitude-Phase representation of the Fourier transform（傅立叶变换的模和相位表示）
连续信号和离散信号的傅立叶变换（频域表达）一般是复数值的，可以用它的模和相位来表示：
X(jω)=|x(jω)|.exp(j≮X(jω))
离散类似：
X(exp(jω))=|x(exp(jω))|.exp(j≮X(exp(jω)))
因为傅立叶变换可以理解为把信号分解为不同频率的指数信号的“叠加”，则对于每一频率ω0，模|x(jω)|是信号x(t)在该ω0频率分量的“大小”而相位角≮X(exp(jω)则是表示这些不同频率分量的相对相位关系。对于一个信号而言，不同频率分量的大小和彼此相位关系都是非常重要的信息。

6-2：The Aagnitude-Phase representation of the frequency response of LTI systems（LTI系统频率响应的模和相位表示）
一个LTI系统的输入、输出和频率响应的关系为：
X(jω).H(jω)＝Y(jω)；            X(exp(jω)).H(exp(jω))＝Y(exp(jω))
再考虑各分量均可表示为模－相位的形式，可知（以连续为例，离散类似）：
|Y(jω)|=|X(jω)|.|H(jω)|
≮Y(jω)=≮X(jω)+≮H(jω)
即输出Y(jω)的幅度等于输入幅度乘以频率响应的幅度；相位角等于输入信号的相位角加上频率响应的相位角。
因此，|H(jω)|一般称为系统的增益（gain）；≮H(jω)一般称为系统的相移(phase shift)。相移可以改变信号各频率分量之间相对的相位关系。
如果我们不希望系统对输入信号的幅度和相位的改变，则这样的改变称为幅度和相位的失真（distortions）

线性相位与非线性相位（Linear and nonlinear phase）
当系统相移≮H(jω)是ω的线性函数时，则系统频域的相移对应时域的时移。例如
H(jω)= exp(-jωt0),显然有|H(jω)|=1， ≮H(jω)＝－ωt0
显然这个系统产生的是信号的时移：
y(t)=x(t-t0)
而如果系统的相移≮H(jω)是关于ω的非线性函数，则输出信号相对应的原函数中各频率分量的相对相位将发生变化，这会使信号y(t)相对于x(t)发生很大变化。

具有单位增益（即|H(jω)|=1）的系统称为全通系统（all pass system）。全通系统的特性完全是由它的相位特性决定的。

群时延(Group delay)
对于线性相移≮H(jω)＝-(jωt0)-φ，从时域上可以看作系统对输入信号x(t)有一个时延t0再乘上一个常系数exp(-jφ)，换言之，y(t)=x(t-t0).exp(-jφ)。显然这个时候，时移t0=-d(≮H(jω))/dω
对于一般的系统而言，相移≮H(jω)并非是ω的线性函数，对于不同的ω值，有不同的≮H(jω)，自然我们可以把这个系统理解为对不同的ω有不同的时移。
物理意义在于，如果输入信号在频域上是一个窄带（即只在很小的一段频域ω1前后存在有效值），那么可以近似地把系统在该段频域的相移看作线性的。认为有≮H(jω)≈-φ-ωα
换言之，对于一个存在于频率ω1前后的窄带信号，可以近似认为系统对于它有一个时延α。这个时延称为系统在ω＝ω1时的群时延。
显然，对于位于不同的频率上的窄带信号，其近似的时延α也不相同。这个群时延的公式显然应当是系统的相移函数在ω的处的斜率：τ(ω)=-d(≮H(jω))/dω
关于群时延的概念和定义，可以直接用上述公式表达。一般情况下ω不同，则该处的群时延τ(ω)也不同。可以理解为系统对于输入信号的不同频率分量进行不同的时移。
作为特殊情况，对于具有线性相移的系统≮H(jω)＝-(jωt0)-φ，τ(ω)=-d(≮H(jω))/dω＝t0是个常数，因此线性相移的系统的群时延是个恒定值，换言之线性相移系统是对整个输入信号进行相同的时移。

6-3:Time-domain properties of ideal frequency-selective fliters（理想频率选择滤波器的时域特性）
第三章介绍了频率选择滤波器。一个理想的连续时间低通滤波器的频率响应是：
H(jω)=1，|ω|≤ωc；
H(jω)=0，|ω|>ωc。
而离散低通滤波器的理想模型的频率响应是：
H(exp(jω))=1，|ω|≤ωc；
H(exp(jω))=0，π≥|ω|>ωc。
该频域函数显然是以π为周期的周期函数。

用傅立叶反变换可以很容易求到，对理想低通滤波器的时域函数为：
h(t)=Sin(ωct)/πt；h[n]=Sin(ωc.n)/πn
这是一个无始无终的信号。显然，这样的非因果的单位冲激响应（即在t=0以前就有了非0的响应）在现实的LTI系统中是很难实现的。

6-4：Time-doman and frequency-domain aspects of nonideal filters（非理想滤波器的时域和频域特性讨论）
由于理想滤波器的难以实现，以及在现实中，对其有些性质是不必要的，因此我们往往采用一些非理想滤波器来完成这一任务的近似。
本节需要了解关于非理想滤波器的通带起伏（passband ripple）、阻带起伏（atopband ripple），通带边缘（passband edge）、阻带边缘（stopband edge）和过渡带（transition）的概念。
通带起伏δ1：滤波器频域图上，现实的通带相对于理想的通带值（1）能够允许的波动范围。换言之，若|H(jω)|在（1-δ1）到（1＋δ）范围内，可以认为此时为通带。
阻带起伏δ2：类似通带起伏，当|H(jω)|在0到δ2的范围内，可以认为此时为阻带。
通带边缘：通带的边界频率。
阻带边缘：阻带的边界频率。
过渡带：通带与阻带之间的部分。

本章其余部分不要求

第七章：
Sampling（采样）
本章的基本内容是对于一个连续时间信号，如果它的傅立叶变换的函数是一个带限函数，则可以通过在等时间间隔上采样的值，即样本（samples）来表示，并通过样本把信号完全恢复。
7-1：Representation of a continuous-time signal by its samples：the sampling theorem（用信号样本表示连续时间信号：采样定理）

冲激串采样（impulse-train sampling）
采样的一种方法是：用一个等间隔的冲激串去乘连续时间信号x(t)。冲激串的大小为单位1，冲激串的间隔时间Ts称为采样周期（sampling period），该冲激串信号的基波频率ωs=2π/Ts称为采样频率(sampling frequency)。该冲激串函数称为采样函数(smapling function)p(t)。该方法称为冲激串采样。
易知p(t)的傅立叶变换P(jω)为冲激串。冲激串大小为2π/Ts，间隔为ωs。
由乘法性质，时域相乘对应频域卷积，则信号样本xp(t)=x(t).p(t)的傅立叶变换实际上是把X(jω)在频域上进行周期拓展（复制，位移，粘贴^_^）。拓展的周期就是ωs
显然，设x(t)的频带宽度（即X(jω)有非0值的最大ω）为ωM，则当ωs≤2ωM时，X(jω)进行周期拓展后的各部分会发生相互混叠；而在ωs>2ωM的时候，这些部分不会混叠（因为它们的频带宽度从中心往左右各自只有ωM，而周期拓展的间隔ωs>2ωM）。这时候，我们可以把xp(t)通过一个低通滤波器，从而恢复原来的信号。该低通滤波器增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs-ωM。
这就是采样定理。描述如下：
设x(t)为一带限信号，|ω|>ωM时有|X(jω)|=0。现在以ωs为采样频率对其采样，如果ωs>2ωM则x(t)可以唯一地由采样结果xp(t)确定。
我们可以采取如下方式恢复x(t)：将xp(t)输入一个增益为Ts，截止频率大于ωM而小于ωs-ωM德低通滤波器，所得输出就是原信号x(t)。
因此，在采样中，采样频率ωs应大于（而不是大于等于！）2ωM。该频率2ωM称为耐奎斯特率（Nyquist rate）。而耐奎斯特率的一半ωM则称为耐奎斯特频率（Nyquist frequency）。

0阶保持采样（Samping with a Zero-order hold）
这里介绍的是鉴于产生一个冲激串函数的难度较大，而采用另一系统，使得等效于原信号x(t)进行冲激采样后通过系统h0(t)的一种采样——恢复模式，自己看书了解。

7-2：不要求
7_3：The effect of undersampling：aliasing（欠采样的结果：混叠）
了解：当采样频率ωs≤2ωM时，在频域上会发生混叠。要求作图了解混叠发生的原因和后果。
从时域上，欠采样造成的混叠，实质上是对于样本选取之后，两个样本的差默认为最小值的结果。例如，如果在两个样本点之间（即一段Ts的时间），信号的最大频率分量经过了0.7个周期（即相位角1.4π），则在恢复时等效于把该分量在两个样本点的相位角默认为逆向0.3个周期（即相位角-0.6π），由此造成信号恢复的失真。

本章其他内容：不要求



第八章：
Communication systems(通信系统)

通信的基本步骤是：
一个载有信息的信号（称为调制信号modulating signal）x(t)嵌入另一个信号c(t)（称为载波信号carrier signal）产生一个新信号y(t)（称为已调信号modulated signal）。这一步称为调制（modulation）
把已调信号y(t)发送出去，通过传输媒介到接受端。
接受端对已调信号y(t)进行处理，从中把载有信息的信号x(t)提取出来。这一步称为解调（demodulation）

很重要的一类调制是用x(t)对c(t)的幅度进行调制，即y(t)=x(t).c(t)。称为幅度调制（amplitude modulation），简称AM。

8-1：Complex exponential and sinusoidal amplitude modulation（复指数与正弦幅度调制）

复指数载波的幅度调制（amplitude modulation with a complex exponential carrier）
当载波信号c(t)=exp(j(ωct+θc)),称为复指数幅度调制。Ωc称为载波频率（carrier frequency）。为方便令θc＝0。此时有：
y(t)=x(t).c(t)=x(t).exp(jωct)
从频域上，C(jω)=2πδ(ω-ωc)
由调制性质，时域相乘对应频域卷积，因此
Y(jω)=(1/2π)X(jω)*C(jω)=X(j(ω-ωc))
换言之，y(t)的傅立叶变换Y(jω)等于把X(jω)在频域上进行ωc的频移。

对y(t)进行解调以恢复x(t)的方法很简单，只要将y(t)再乘以exp(－jωct)即可：
y(t)。exp(jωct)＝x（t）.exp(jωct).exp(-jωct)=x(t)
显然从频域上，这等效于把X(jω)先正向移动ωc，再移动-ωc，最后还是得到了X(jω)。该调制解调方法对ωc和x(t)的带宽ωM关系没有什么要求。

正弦载波的幅度调制(Amplitude modulation with a sinusoidal carrier)
很多时候采用的是正弦波调制，c(t)=cosωct。
此时：y(t)=x(t).c(t)=x(t).cosωct
而从频域上，由于
C(jω)=π(δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc))
有：Y(jω)=(1/2π)X(jω)*C(jω)=(X(j(ω-ωc))+X(j(ω+ωc)))/2
显然，这相当于把X(jω)的图象减半后分别向左和向右发生了|ωc|的频移。
如果X(jω)的带宽ωM<ωc，则频移后的两个分量不会发生混叠，可能从y(t)中把x(t)恢复出来。否则，如果ωM≥ωc，则频移后的两个分量会发生混叠，从而不可能恢复。因此正弦调幅对调制信号x(t)的带宽和载波频率之间的关系提出了要求。

8-2：Demodulation for sinusoidal AM（正弦调幅的解调）

同步解调（Synchronous demodulatuon）
正弦调幅的解调是：先把已调信号y(t)再乘以一个同步正弦信号cosωct，然后通过一个低通滤波器，该滤波器增益为2，截止频率大于ωM而小于2ωc-ωM。这样就可以恢复出信号。
从时域上显然有：
y(t). cosωct=x(t).cosωct.cosωct=(1/2).x(t)+（1/2）.x(t).cos2ωct
将这样一个信号通过一个增益为2的低通滤波器，则高频分量x(t).cos2ωct被过滤掉，而低频分量x(t)/2则得到了2的增益，从而恢复出x(t)。
从频域上讲，则解调相当于把已经减半后两边分开的信号图形再次重复，减办后分别向左右进行ωc的频移。造成结果是：
W(jω)=Y(jω)*( π(δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π)
= (X(j(ω-ωc))+X(j(ω+ωc)))(1/2)* ( π(δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc))).(1/2π)
=(1/2)X(jω)+(1/4)X(jω-j2ωc)+(1/4)X(jω+j2ωc)
即原先左移信号的右半部和右移信号的左半部在中央重合，其余两个半部更加分离。这时通过低通滤波器，可以把左右两边过滤掉而保留中间的X(jω)，从而得以恢复。
该方法要求的是载波信号c(t)和后来输入的解调正弦信号必须严格同步，否则会因为相差造成失真。
另一种解调方法称为非同步解调(Asynchronous demodulation)，则是通过包络检测的方法来恢复信号x(t)的。

本章其他内容：不要求

第九章：
The Laplace transform（拉普拉斯变换）

拉普拉斯变换也是一种频域分析。作为傅立叶变换的一种扩充，比傅立叶变换具有更广泛的应用。

9-1：The Laplace transform（拉普拉斯变换）
拉普拉斯变换的引入：
前面已经讲过，LTI系统对于指数信号exp(st)有响应为：
exp(st)→H(s).exp(st)
其中，H(s)由h(t)确定。具体公式为P655 9-2。
显然这个式子一般只对某些s值成立。而对另一些s值，9-2式不收敛。
这里，称9－2式为h(t)的拉普拉斯变换。使得9-2收敛的s值称为H(s)的收敛域(region of convergence),简称ROC。
更一般地，对任何信号连续x(t)，由公式P655公式9－3确认的函数X(s)称为其拉普拉斯变换。二者的变换关系记做：
x(t)←L→X(s)。
显然对于某一个确定的x(t)，只有在一定范围内的s才能使得9－3收敛成立。这个s的范围称为收敛域。
我们可以看出，拉普拉斯变换其实是傅立叶变换的扩充。
令s=σ+jω。则傅立叶变换可以看作σ＝0（即s=jω）情况下的拉普拉斯变换；
而信号x(t)的拉普拉斯变换可以看作x(t).exp(-σt)的傅立叶变换。
从例题9－1，9－2可以看出，有时候两个完全不同的信号x1(t)和x2(t)，他们的拉普拉斯变换的表达式X1(s)和X2(s)可能会从形式上完全相同，但它们的收敛域会不同。
为了更好分析复指数s的取值范围，我们构建一个复平面称为s域。水平轴称为σ轴，垂直轴称为jω轴，s域上每一个点表示一个s值。
可以表示为如下形式：
X(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)都是关于s的多项式，则称X(s)为有理的（rational）。只要x(t)是实指数或者复指数信号的线性组合则X(s)一定是有理的。将X(s)化简约分后，使得N(s)=0的s值称为X(s)的零点（zero），使得D(s)＝0的s值称为X(s)的极点（pole）。在s域上零点用О表示，极点用Χ表示，形成的图称为零极点图。

9-2：The region of convergence for Laplace transforms（拉普拉斯变换的收敛域）
本节专gate研究拉普拉斯变换的收敛域，主要是根据信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)和本身特性分析收敛域的情况。
性质1：X(s)的ROC由平行于jω轴的带状区域组成。
由于x(t)的拉普拉斯变换等效于x(t).exp(－σt)的傅立叶变换，显然使拉普拉斯变换收敛的条件即是x(t).exp(-σt)的傅立叶变换收敛，这只和σ的值有关。因此X(s)的收敛域必然是平行于jω轴的带状区域。
性质2：对有理拉普拉斯变换而言，ROC内不能包涵任何极点。
极点是使得X(s)的分母为0的s值，当然不能包含在收敛域内。
性质3：如果X(t)是有限持续期(finite duration)并且绝对可积(absolutely integrable)，则收敛域是整个s平面。
显然，对于一个有始有终的信号，又是绝对可积，使得无论s为何值，H(s)均是有限值。
性质4：如果x(t)是右边信号（right sided），也就是说有始无终，则其ROC是s域的某一右半平面（right-half plane）。（换言之，若对于σ=σ0的s在收敛域内，则对于一切σ>σ0的s都在其中）
该性质容易理解。因为x(t)的拉普拉斯变换等于x(t).exp(-σt)的傅立叶变换。如果对某个σ0有傅立叶变换收敛，则当σ值变大，-σ变小，当t趋向正无穷大时，整个积分肯定也是收敛的。
性质5：如果x(t)是左边信号（left sided），也就是有终无始，则其ROC是s域的某一左半平面(left-half plane)。
同理，因为如果对某一σ0拉普拉斯变换收敛，则当σ变小时，对于从负无穷大到某一t0的积分肯定依然是收敛的。
性质6：如果x(t)是一个双边信号（two-sided），也就是无始无终，则可以把它看作一个右边信号x1(t)和左边信号x2(t)的和，则x(t)的ROC是x1(t)的收敛域和x2(t)地收敛域的公共部分。它要么是一个左右两边都有边界的带状区域，要么根本不存在。
性质7：如果x(t)的拉普拉斯变换是有理的，则它的ROC边界要么由极点确定，要么延伸到无穷远处。
性质8：假设一个x(t)的拉普拉斯变换是有理的。如果x(t)是右边信号，则其收敛域在其最右边极点的右边；如果x(t)是左边信号，则其收敛域在其最左边极点的左边；如果x(t)是双边信号，则收敛域在其某两个极点之间的垂直带状区域，或者根本不存在。
性质7和8是根据前面的推导出来的。
这8大性质其实很多都很容易想到，但把它们固化为性质，对于我们解决实际问题和进一步分析很有好处的。

9-3：The inverse Laplace transform（拉普拉斯反变换）
由x(t)的拉普拉斯变换X(s)和其收敛域求x(t)的运算称为拉普拉斯反变换。
注意，因为不同形式的x(t)完全可能变换为同样形式的X(s)，因此必须综合收敛域才能反推出其时域表达式x(t)。
拉普拉斯反变换的一般标准式为P671 9－56。运算比较麻烦。
但我们通常对具有有理形式的X(s)进行反变换。把一个有理式X(s)拆分为Ai/(s+ai)的叠加。对每一个Ai/(s＋ai)，如果收敛域位于极点s=-ai的右边，则反变换为Aiexp(-ait)u(t),若ROC位于极点s=-ai的左边，则反变换为-Aiexp(-ait)u(-t)。将每项相加，便得到X(s)的拉普拉斯反变换即x(t)。
对于少数情况的X(s)分解，还需要考虑如1,s,s^2以及1/（(s+a)(s+a)）等形式的反变换。

9-4：Geometric evaluation of the Fourier transform from pole-zero plot（由零极点图对傅立叶变换进行几何求值）
本节介绍的东西其实很简单，就是根据s域上每一点s0到各极点和零点的线段长度、斜角，求出对于这一点s0的H(s0)。而如果s0是在jω轴上，则所求就是x(t)的傅立叶变换了。

9-5：Properties of the Laplace transform（拉普拉斯变换性质）
拉普拉斯变换很多性质和傅立叶变换相似，都是非常重要的。尤其需要注意收敛域的变化。
线性（Linearity）
x1(t)←L→X1(s)，ROC为R1；x2(t)←L→X2(s),ROC为R2，
则ax1(t)+bx2(t)←L→aX1(s)+bX2(s)，ROC包括R1∩R2
注意，这里说的包括，是指线形叠加后的收敛域至少包括R1和 R2的交集。如果由于叠加而造成了极点被抵消，则收敛域可能大于R1和R2的交集。例如，如果x1(t)=1-x2(t)则显然叠加后的收敛域为整个s平面。

时移性质(Time shifting)
x(t)←L→X(s),ROC=R，则x(t-t0)←L→exp(-st0)X(s),ROC=R

s域平移（Shifting in the s-Domain）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则exp(s0t)x(t)←L→X(s-s0),ROC=R+re{s0}
Roc=r+re{s0}表示收敛域是把X(s)的收敛域R进行平移，平移的方向和距离由s0的实部决定。例如s0的实部为2，则收敛域为把R向右平移2.

时域尺度变换（Time scaling）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则x(at)←L→(1/|a|)X(s/a),R1=R/a
注意，R1=R/a的涵义，如果a=2则R1的范围为R的范围的一半。其他依此类推。

共轭（Conjugation）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则x*(t)←L→X*(s*),ROC=R，
尤其，当x(t)为实函数则X(s)=X*(s*)
因此对于实函数x(t)的拉普拉斯变换X（s）若有一极点或零点在s0点，则必然有一极点或零点在s0*点。

卷积性质（Convolution property）
x1(t)←L→X1(s),ROC=R1，x2(t)←L→X2(s),ROC=R2，
则x1(t)*x2(t)←L→X1(s).X2(s),ROC包括R1∩R2，
这同样是最重要的性质之一，通过它可非常方便地分析LTI系统。
对于收敛域，同样需要考虑由于卷积而导致极点抵消的情况。

时域微分（Differentiation in the time domain）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则dx(t)/dt←L→sX(s),ROC包括R，

s域微分（Differentiation in the s-domain）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则-tx(t)←L→dX(s)/ds,ROC=R，

时域积分（Integration in the Time domain）
x(t)←L→X(s),ROC=R，则x(t)的积分进行拉普拉斯变换为X(s)/s。收敛域包括R∩{re{s}>0}
也就是说，收敛域至少包括R中位于jω轴右边的部分。

初值定理与终值定理（The Initial-Value theorem and Final-Value theorem）
若在t<0时x(t)=0，且t=0时x(t)不包涵冲激或高阶奇异函数，则可以直接从拉普拉斯变换式X(s)推导出x(t)在0+和趋向无穷大时值。
初值定理：x(0+)={Lims→∞}sX(s)
终值定理：{limt→∞}x(t)={lims→0}sX(s)
注意，一定是sX(s)的s取值趋向0或者无穷大的时候。

全部性质见P691表9－1。必须很好的掌握。

9-6：Some Laplace transform pairs（常用拉普拉斯变换对）
P692 表9－2

9-7：Analysis and characterization of LTI systems using the Laplace transform（用拉普拉斯变换分析与表征LTI系统）
对于一个系统，其单位冲激响应为h(t)，输入为x(t)，输出为y（t）且有
x(t)←L→X(s),，y(t)←L→Y(s),h(t)←L→H(s)，
则Y(s)=x(s).H(s)；或者H(s)=Y(s)/x(s)
对于一个x(t)=exp(st)，则输出一定等于H(s)exp(st)
当s＝jω时即为傅立叶变换。这时H(s)=H(jω)成为频率响应（frequency response）。而一般称H(s)为系统函数（system function）或转移函数(transfer function)。通过H(s)可以考察系统的一些性质。

判断因果性：
一个因果系统的系统函数H(s)的ROC是某个右半平面。反之未必成立。但对于一个具有有理形式的H(s)，只要其ROC位于最右边极点的右边就可知它是因果的。
同理对一个H(s)如果其ROC位于最左边极点的左边则可知它是反因果的。

判断稳定性：
一个系统的稳定等效于其单位冲激响应绝对可积，也就是它的傅立叶变换H(jω)收敛。换言之就是H(s)的收敛域包括了jω轴。因此，当且仅当系统函数的ROC包括jω轴时该LTI 系统是稳定的。

特别，对于一个有理因果系统h(t)而言，当且仅当H(s)全部极点都位于jω左边，才是稳定的。

由线性常系数微分方程表征的LTI系统（LTI systems characterized by Linear Constant-coefficient）
对于一般的线性常系数微分方程表征的LTI系统，直接对两边进行拉普拉斯变换，然后由H(s)=Y(s)/X(s)可以很容易的对方程的输入、输出和冲激响应进行分析。

9-8：System function algebre and block diagram representations（系统函数的代数属性与方框图表示）

LTI系统互联的系统函数(System function for interconnections of LTI systems)
LTI系统互联有并联、串联、反馈三种，相应的系统函数分别为
H(s)=H1(s)+h2(s)   (h1和h2并联)
H(s)=H1(s).H2(s)   （h1和h2串联）
H(s)=H1(s)/(1+H1(s).H2(s))   （h1作为正向开环系统函数，h2作为负反馈）

由微分方程和有理系统函数描述的因果LTI系统的方框图表示（Block diagram representations for Causal LTI systems described by differential equations and rational system function）
掌握最基本的一阶函数的方框图
对于一个较为复杂的有理系统函数，可以通过三种方法：
分解为简单系统函数的串联
分解为简单系统函数的并联
采用直接法。

具体方法自己通过看书掌握

9-9：The unilateral Laplace transform（单边拉普拉斯变换）
单边拉普拉斯变换的公式是P714 9-170。记做x(t)←UL→X(s),
它可以理解为x(t).u(t)后进行再双边拉普拉斯变换即x(t)u(t)←L→X(s)。
因此，如果一个信号本身是因果信号，则其双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换是一样的。
否则若信号本身存在t<0时x(t)的非0值则双边与单边拉普拉斯变换是不一样的。

单边拉普拉斯变换性质见P717 表9－3

尤其，对于微分，有
dx(t)/dt←UL→sX(s)-x(0-),
进一步，
d^2 (x(t))/dt^2←UL→(s^2)X(s)-sx(0-)-x’(0-)
依此类推。

利用单边拉普拉斯变换可以求非零初时条件的线性常系数微分方程的解。P719,例9－38

本章小结：
本章是最重要的几章之一，首先由LTI系统对exp(st)的响应提出了H(s)及其收敛域的概念，并一般化为任意信号x(t)的拉普拉斯变换。进而分析了其同傅立叶变换的关系。对于拉普拉斯变换必须结合其收敛域来考察，而收敛域也是进行拉普拉斯反变换的必要考察条件。利用拉普拉斯变换的性质，我们可以非常方便地解线性常系数微分方程。而对于任意系统，通过拉普拉斯变换也可很容易地用方框图表示。最后，引入单边拉普拉斯变换，在本章主要介绍用它来解具有非0初始量的方程的方法。

本章要求掌握的内容：
拉普拉斯变换的概念和意义；
拉普拉斯变换的公式；
拉普拉斯变换收敛域的涵义，s域，零点，极点和零极点图；
拉普拉斯变换收敛域的性质；
拉普拉斯变换的求解方法；
拉普拉斯反变换的意义和求解方法；
由零极点图对傅立叶变换进行几何求值；
拉普拉斯变换的性质（包括收敛域的变化）
常用拉普拉斯变换对；
利用H(s)判断系统的因果性和稳定性；
利用拉普拉斯变换解方程，求输入输出；
用直接型、并联型和串联型画出系统方框图，根据方框图写出系统函数；
单边拉普拉斯变换的意义和性质；
利用单边拉普拉斯变换求方程的解