第一章：
Singnals and System（信号与系统）
1－1：continuous-time and discrete-time signals（连续时间与离散时间信号）
信号：信息的载体。
在信号与系统分析中，信号的表达式为函数（functions）
P3:Signals are represented mathematically as functions of one or more independent variables（[屏蔽]自变量）。
例如：关于某导线电流强度对应不同时间的函数I(t)；等比数列的某一个数对应其序号的函数a[n]=b^n。
自变量的定义域为连续的时间段（有限或无限）的信号（函数）称为连续时间信号x(t)
自变量的定义域为间断的时间点（一般地，归一为整数点…－1，0，1，2…）的信号称为离散时间信号x[n]，又叫序列（sequences）。两者有相似处，离散时间函数（又称为离散时间序列）可以看作连续时间函数对整数点时间进行抽样得到，但两者计算上有很大区别。
信号（函数）对应某一自变量值的信号函数值大小称为信号的幅度（phenomenon）。例如x(t)=2t，在t=3时x(t)=x(3)=6就是此刻的幅度。

Signal energy and power（信号的能量与功率）
把信号看作电流，该电流在某一段时间内流过1欧姆的电阻产生的能量和平均功率(average power)便是信号在该段时间的能量与功率。因此可得在t1~~t2内信号x(t)的能量为：
E=∫(t1~t2)(|x(t)|^2)dt，
而相应这段时间的功率则为
P=E/(t2-t1)
信号在整个定义域的能量
E∞=（limT→∞）∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt
信号在整个定义域的平均功率
P∞=(limT→∞)(1/2T)∫(－T～T)(|x(t)|^2)dt
     相应的，对于离散时间信号则有P6-7(1,7)(1,9)(这个东西要输入太困难了，呵呵)
显然，对于一个信号在无穷区间的能量与平均功率有三种可能：
平均功率无穷大，总能量无穷大（2）平均功率有限，总能量无穷大（3）总能量有限，平均功率无穷小（也是有限）


1-2:Transformations of the independent variable（自变量的变换）
自变量的变换就是对信号x(t)或x[n]的自变量t或n进行相应变换，由此会影响信号。
time shift（时移），将x(t)/x[n]变成x(t-t0)/x[n-n0]。结果是使信号形状不变，但在位置上相对原来的信号有移位。注意：当t/n0>0时，信号向右移动，反之则向左。
time reversal（时间反转）将x(t)/x[n]变成x(-t)/x[-n]。新信号等于把原来信号以t=0/n=0为轴反转得到。
time scaling（尺度变换）将x(t)变成x(at)，a>0，则新信号等于把原信号在横坐标上压缩或拉伸为原先的1/a。例如x(2t)信号等于横向压缩为原先1/2。离散信号的时间尺度变换很复杂，因为它只能在整点取值。

Periodic signals（周期信号）
这是非常重要的一类信号。
连续周期信号定义：若某一连续信号选x（t）对任意t有
x(t)=x(t+T)
则x(t)称为周期信号，T(不为0)称为周期（period）
一个周期信号有无穷多个周期，其中最小的T0称为基波周期或基本周期（fundamental period）。其余周期T都是T0的整倍数
对于常数信号x(t)=C，不存在基波周期的概念，这是一类特殊的周期信号。
不具有周期性质的信号叫非周期信号（aperiodic signal）
类似的，离散信号中满足x[n]=x[n+N]的叫做周期信号，N为周期。最小的N0为基波周期。但常数信号有基波周期为1！

Even and odd signals（偶信号与奇信号）
从t=0轴反转后与原信号重合的信号称为偶信号,即满足x(t)=x(-t)
从t=0轴反转后与原信号相反的信号称为奇信号，即满足x(t)=-x(-t)
任何一个信号x(t)都可以分解为一个偶信号和一个奇信号的和，分别叫做这个信号x(t)的偶部（even part）和奇部（odd part）
Ev{x(t)}=(1/2)[x(t)+x(-t)];   Od{x(t)}=(1/2)[x(t)-x(-t)]，
离散也完全一样。

1－3 Exponential and Sinusoidal Signals（指数信号与正弦信号）

comtinuous-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(连续时间复指数信号与正弦信号)
x(t)=Ce^(at)。
一般而言C与a都是复数。
实指数信号(real Exponential signal)：C和a都是实数(real)。X(0)=C,a>0，信号随时间增长；a<0，信号随时间衰减

周期复指数和正弦信号（periodic complex Exponential and Sinusoidal Signals）
周期复指数信号：a为纯虚数（imaginary），则x(t)=e^(jw0t)
由于e^ja=e^j(a+2π),或e^（j2π）＝1，因此x(t)=x(t+(2π/w0))
T0=2π/|w0|为基波周期。
X(t)=Acos(ωt+φ)或x(t)=Asin(ωt+φ)称为正弦信号，也是基波周期为T0=2π/|ω|的周期函数。
由欧拉公式（Euler’s relation）:e^(j(ωt+φ))= cos(ωt+φ)+jsin(ωt+φ)可以完成指数函数与正弦函数的相互表达和转换
cos(ωt+φ)＝（1/2）（e^(j(ωt+φ))＋e^(－j(ωt+φ))）
sin(ωt+φ)＝(1/2j) （e^(j(ωt+φ))－e^(－j(ωt+φ))）

对于周期复指数信号和正弦信号，基波周期为2π/ω, |ω|称为基波角频率（fundamental frequency）
对于周期复指数信号和正弦信号而言，很明显其能量与功率的关系是在无穷区间的有限平均功率和无穷总能量。

A set of harmonically related complex exponentials （一组成谐波关系的复指数信号）
一个重要的概念。
指的是这样一组复指数信号φk(t)=exp(jkω0t),k=0,1,-1,2,-2……显然这些信号都是周期信号，具有共同周期2π/ω0。这样一组复指数周期信号就称为一组谐波。

一般复指数信号：
x(t)=Cexp(at)，其中C=|C|exp(jθ),a=r+jω0
则x(t)=Cexp(at)=|C|exp(rt)exp(j(ω0t+θ))
通过包络分析，可以看出信号包络|C|exp(rt)的走向（21页）



Discrete-time complex Exponential and Sinusoidal Signals(离散时间复指数和正弦信号)
指数信号、正弦信号、欧拉公式等都与连续类似。
不过更方便在于可以令x[n]=Cexp(βn),当a=expβ,则x[n]＝C（a^n）
离散指数周期信号：
x[n]=exp(jωn)的周期分析：
与连续信号x(t)=exp(jωt)周期为2π/ω不同，由于n只能取整数值，因此周期（如果有周期的话）必须是整数。
当2π/ω为有理，则周期基波T0＝(2π/ω)k，k是使T0为正整数的整数。
例如：ω＝π/4，则T0=8(k=1); ω＝3π,则T0=2(k=3)
当2π/ω为无理数，则x[n]=exp(jωn)不是周期信号。因为无论什么N都不能使ωN=2kπ，也就是不能使得exp(jωN)=1，也就是不能使得exp(jωn)＝ exp(jω(n+N))

离散指数周期信号的另一特性：exp(jωt)= exp(j(ω+2π)t)
也就是说，离散指数信号的一组基波频率为2π/N0的谐波只有N0个不同的指数信号（而在连续指数周期信号中一组有无数多个）

4：The unit impulse and unit step functions（单位冲激与单位阶跃函数）

离散时间单位冲激和单位阶跃
单位冲激/单位脉冲/单位样本（unit sample）δ[n]：
n=0时，δ[n]=1，其他时候δ[n]=0
单位阶跃u[n]：
n<0时，u[n]=0;n>0时，u[n]=1
δ[n]是u[n]的一次差分（first difference相当于连续中的微分）：
δ[n]＝u[n]-u[n-1]
u[n]是δ[n]的动求和（running sum，相当于连续中的不定积分）：P31公式1.67
δ[n]具有采样性：x[n] .δ[n-n0]=x[n0].δ[n-n0]


连续时间单位阶跃和单位冲激函数
连续时间中的单位阶跃和单位冲激都是理想化的奇异函数。
单位阶跃函数u(t)：t>0,u(t)=1;t<0,u(t)=0
单位冲激函数δ（t）：一个特殊函数。仅在t=0时有非零函数值。函数值为无穷大。换言之，这个函数宽度为0，高度为无穷大，而积分面积为1
δ（t）为u(t)的微分；u(t)为δ（t）的积分。

δ（t）的采样性：x(t).δ（t-t0）=x(t0).δ（t-t0）


1.5      Continuous-time and Discrete-time System（连续时间和离散时间系统）

在信号与系统中，系统是指这样一些元件的互联，通过它，当输入一个信号（input），能够得到一个输出信号(output)。信号与系统根本上就是研究输入、输出与系统三者的关系。
连续时间系统即输入和输出都是连续时间信号的系统；离散时间系统即输入和输出都是离散时间信号的系统。

系统的互联(interconnections of systems)
包括三种简单连接：
串联（series）或级联（cascade interconnection）
并联（parallel interconnection）
反馈联结(feedback interconnection)
以及各种简单连接组合而成的混联

系统联结往往采用方框图（block diagrams）


1.6      Basic system properties(基本系统性质)

记忆系统与无记忆系统（systems with and without memory）
如果某系统的输出信号的每个时刻的值仅仅取决于输入信号在该时刻的值而与输入信号在之前或之后时刻的值无关，则称为无记忆系统。反之如果在某一时刻的输出值还与其他时刻的输入值有关则称为记忆系统。

可逆性与可逆系统（invertibility and inverse system）
可逆系统的条件：不同输入必然导致不同输出，则称该系统为可逆（invertible）的。
对可逆系统存在一个逆系统（inverse system）使得把原系统的输出信号输入到逆系统中，则最终的输出信号便是最初的输入信号。

因果性（causality）
一个系统任何时刻的输出只决定于该时刻以及该时刻以前的输入，而与该时刻以后的输入无关，则称为因果系统（causal），或称为不可预测系统(nonanticipative)
所有的无记忆系统都是因果的。

稳定性（stability）
如果对于任何一个有界的输入，该系统的输出都是有界的则称为稳定系统。

时不变性（time invariance）
概念：如果系统的参数不随时间改变，则系统是时不变(time invariant)的。
如：y(t)=x(t)+x(t-3)
反之则系统是时变（time variant）的：
如y(t)=t.x(t)
对于时不变系统，输入信号发生时移则输出信号发生相同的时移：
x(t)→y(t),则x(t-t0)→y(t-t0)

线性(linearity)
线性系统(linear system)具有的重要特性是叠加性质（superposition property）
ax1(t)+bx2(t)→ay1(t)+by2(t)
该系统也可等效为两个系统：
可加性（additivity）：x1+x2→y1+y2
比例性（scaling）或齐次性(homogeneity)：ax1→ay1（a为任意复数）

增量线形叠加（incrementally linear systems）
任意输入信号的输出y(t)=yh(t)+yp(t)，其中yp(t)是一个线形输出。
换言之，对任意两个输出的差y1-y2=y1p-y2p是一个线形的表达式。

本章小结：
本章是信号与系统的基础概念集合，需要掌握以下知识点：
连续时间信号与离散时间信号的基本概念和表达；
信号能量与平均功率的概念和表达式；
自变量的变换（时移、时间反转和尺度变换）
周期信号的定义，周期和基波周期的概念
偶信号与奇信号的概念，信号的偶部和奇部的计算；
指数信号与正弦信号的概念与互相转换；
连续周期指数函数exp(jw0t)的基波周期、基波频率的概念
成谐波关系的复指数信号的概念；
离散时间指数周期信号x[n]=exp(jωn)的周期分析；
离散时间单位冲激和单位阶跃的概念和关系；
δ[n]的采样性；
连续时间中的单位阶跃和单位冲激的概念和关系；
δ(t)的采样性；
连续时间和离散时间系统的概念；
系统的三种互联；
基本系统性质6条的概念和判断。

好东西，收下了

我来补上第十章吧


第十章：
The z-transform（z变换）

第九章我们引入了连续时间信号的拉普拉斯变换，类似的，对离散信号有z变换，两者从本质上是一样的，因此有很多相似的地方。但正如连续时间信号与离散时间信号之间的差异，z变换和拉普拉斯变换也有很多区别。

10-1：The z-transform（z变换）
由第三章，单位脉冲响应为h[n]的LTI离散系统对输入z^n的响应y[n]为
y[n]＝H(z)（z^n）
其中H(z)的表达式见P742 10－2
推广到任意信号x[n]，其z变换X(z)的公式为P742 10-3。
记做x[n]←z→X(z)，称为z变换对。
当|z|=1即z=exp(jω)时，z变换即为离散傅立叶变换，X(z)即为X(jω)
令z=r.exp(jω)，也可以把x(t)的z变换看作是x(t)乘上r^(-n)后的离散傅立叶变换。

显然，对于某一个x[n]，其z变换H(z)也只能对某些z成立而对另外一些z不收敛。相对于该x[n]的z变换X(z)收敛的z的取值范围称为收敛域ROC，与拉普拉斯收敛域意义相似。为此构建一个z域。对于其中|z|=1一圈称为单位圆(unit circle)与拉普拉斯中的jω轴相当。X[n]的离散傅立叶变换就是x[n]在单位圆上的z变换。

10-2：The region of convergence for the z-transform（z变换的收敛域）
性质1：X(z)的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。
因为容易得知，判断某个z是否对x(t)收敛，只同|z|有关。因此收敛域必然是以原点为中心的圆环。
性质2：ROC内不包涵任何极点
容易理解，因为极点的z值是使得X(z)为无穷大。
性质3：如果x[n]是有限长序列，则ROC为整个z平面，可能除去z=0或者z=∞。
由于一个有限长序列仅有有限个非零值，因此对P743的10-3，任何非0的z值均为收敛。但如果该序列x[n]在某n1>0时有非0值，则显然对z=∞不收敛；若在某n2<0时有非0值则显然对z=0不收敛。因此收敛域为整个z平面但可能除去0点或无穷远点。
性质4：如果x[n]是个右边序列则ROC是某个圆环的外部。换言之，如果z0在收敛域内，则一切|z1|>|z0|的z1都在收敛域内。
性质5：如果x[n]是个左边序列则roc是某个圆环的内部。
性质6：如果x[n]是个双边序列，则可以把它分解为一个左边序列和一个右边序列的叠加，其收敛域要么不存在，要么是两个序列的收敛域的公共部分，即一个圆环。
性质7：如果x[n]的z变换是有理的，则其ROC就被极点所界定，要么延伸至无限远。
性质8：如果x[n]的变换X(z)是有理的且x[n]是个右边序列则ROC就位于z平面最外层极点的外边，也就是半径等于X(z)中最大模值的极点的圆外边。而且若x[n]是因果序列则ROC也包括z=∞。
性质9：如果x[n]的z变换是有理的，且x[n]是左边序列，则ROC就位于z平面最里层的非零极点的里边，也就是半径等于X(z)中除去z=0的极点钟最小模植的圆的里边。若x[n]是反因果序列，则ROC也包括z=0

10-3：The inverse z-Transform（z反变换）
同拉普拉斯反变换一样，z反变换也是由一个离散序列x[n]的z变换（包括形式X(z)和ROC）来求出x[n]的运算。本节共介绍了三种方法。
方法一：通用公式法。Z反变换的公式为 P758 10-41。这个比较复杂。
方法二：同拉普拉斯反变换一样，对X(z)进行分式展开为一次项，然后利用1/(1-a/z))←z→a^n.u[n](ROC在极点a外部)和1/(1-a/z)←z→-a^n.u[-n-1]（ROC在极点a内部）等公式逐项进行反变换，结果叠加。
方法三：直接根据定义，将X(z)拆成关于z的幂的项，然后其各项系数即是对应的x[n]
关于这三种方法，书本上有例题，自己要多看。

10-4：Geometric evaluation of the Fourier transform from the pole-zero plot（由零极点图对傅立叶变换进行几何求值）
该节与前面拉普拉斯变换相似。因为X(z)的零极点其实标名的是分母与分子的各次项的值，从单位圆上任意一点z作线段到各零极点经过几何分析便可得到傅立叶变换。

10-5：Properties of the z-transform（z变换性质）
线性（Linearity）
如果x1[n]←z→X2(z),ROC=R1，x2[n]←z→X2(z),ROC=R2
则ax1[n]+bx2[n]←z→aX1(z)+bX2(z),ROC包括R1∩R2
之所以是包括，还是因为叠加可能引起极点抵消。

时移性（Time shifting）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则x[n-n0]←z→z^(-n0)X(z),ROC=R，原点或无穷远点可能被加上或除掉
ROC的变化石因为时移造成增加或减少在n>0或n<0时的非零x[n]值

Z域尺度变换（Scaling in the z-domain）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则z0^n.x[n]←z→X(z/z0),ROC=|z0|R

时间反转(Time reversal)
在z变换中是不能随便进行时间尺度变换的，因为x[n]取值必然是整数点。
对于时间反转的z变换而言，
x[n]←z→X(z),ROC=R
则x[－n]←z→X(1/z),ROC=1/R

时间扩展（Time expansion）
时间扩展对应的概念是：x[n]时间扩展为x(k)[n]，则在x[n]的每两个整数点中插入n-1个零值，形成新的序列。或者表示为：
x(k)[n]=x[m] (n=km)
x(k)[n]=0 (n不是k的整倍数)
这时有：x[n]←z→X(z),ROC=R
则x(k)[n]←z→X(z^k),ROC=R^(1/k)

共轭（Conjugation）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则x*[n]←z→X*(z*),ROC=R，
特别对实数序列x[n]，有X(z)=X*(z*)
因此若实序列的X(z)有一个极点或零点z0，则必有一个极点或零点z0*

卷积性质（the Convolution property）
这又是最重要的性质之一。
若x1[n]←z→X1(z),ROC=R1；x2[n]←z→X2(z),ROC=R2
则x1[n]*x2[n]←z→X1(z).X2(z),ROC包括R1∩R2

z域微分（Differentiation in the z-domain）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则nx[n]←z→(-z)dX(z)/dz,ROC=R

初值定理（The initial-Value theorem）
若n<0,x[n]=0，则
x[0]＝lim(z→∞)X(z)

所有性质的表格见P775 表10－1

10-6：Some common z-Transform pairs（常用z变换对）
P776 表10－2

10-7：Analysis and characterization of LTI system（用z变换分析与表征LTI系统）
对于一个离散LTI系统，具有下面的关系
Y(z)=H(z).X(z)
其中H(z)称为系统的系统函数(system function)或者转移函数(transfer function)。若单位圆在系统H(z)的ROC内，则将H(z)在单位圆上求值（即H(jω)）就变成系统的频率响应.
通过对H(z)的零极点和收敛域的分析可以得出很多该系统的特性。

对因果性的判断：
当离散LTI的系统函数H(z)的ROC是在某一圆的外边且包括无穷远点则该系统为因果。
而一个具有有理系统函数H(z)的LTI系统：当且仅当ROC位于最外层极点外边的某一个圆的外边，且把H(z)表示为z的多项式比，分子阶次不能大于分母阶次。

稳定性的判断：
稳定性即傅立叶变换收敛，因此：当且仅当一个LTI系统的H(z)的收敛域包括单位圆|z|=1，该系统为稳定的。
对一个具有有理系统函数的因果LTI系统，当且仅当H(z)全部极点位于单位圆内，系统为稳定的。

由线性常系数差分方程表征的LTI系统（LTI systems characterized by Linear constant-coefficient difference equations）
如前面所说，差分方程可以视为对LTI的输入与输出关系的一种表征。则解这种方程，同样是对两边进行z变换后，把较复杂的差分换为简单的代数比例式加以运算。

10-8：System function algebra and block diagram representations（系统函数的代数属性与方框图表示）
类似连续时间系统的代数属性与方框图表示。只是在直接法里稍有些变化，自己掌握。

10-9：The unilateral z-transform（单边z变换）
前面所谈的z变换称为双边z变换（bilateral z-transform）。本节介绍单边z变换，其公式为P790 10-125。写作：
x[n]←uz→X(z)。
单边z变换可以看作x[n].u[n]后再进行z变换。因此对单边z变换而言，如果函数x[n]本身即是因果信号则其单边z变换与其双边z变换完全一样。否则一般是不同的。

单边z变换的反变换，由一个式子x[n]的单边z变换X(z)，只能反求出x[n]在n>=0的时候的值。而对于n<0时的x[n]，由于在单边z变换时已经把这部分信息消除，因此无法恢复。

单边z变换性质（Properties of the Unilateral z-transform）
主要性质见P793 表10-3

对于时移：
x[n-1]←uz→x[-1]+X(z)/z
x[n+1]←uz→zX(z)-zx[0]

利用单边拉普拉斯变换，同样可以解一些具有非零初时值的线性常系数差分方程。详细请见 P795 例10－37

本章小结：
本章同第九章很多地方极其类似，首先由离散LTI系统的指数输入、输出与单位脉冲响应的关系推出z变换及其定义域的概念，并分析z变换与离散傅立叶变换的关系。接着分析了z变换的性质及其收敛域的一些特点，再后是通过z变换分析与表征系统，解具有零初时的线性常系数差分方程。再后是关于离散系统的方框图表达。最后提出单边z变换的概念并利用它解具有非零初时的线性常系数差分方程。

本章要求掌握的知识点：
z变换的概念；
z变换与离散傅立叶变换的关系；
z变换的收敛域的概念和特点；
了解z反变换的三个方法，学会用第二和第三种解题；
z变换的性质；
常用z变换对；
利用H(z)和收敛域判断LTI的稳定性和因果性；
利用z变换解初时松弛的线性常系数差分方程；
用方框图表示系统，会由方框图写出系统；
单边z变换的定义，性质；
用单边z变换解具有非零初时的线性常系数差分方程；