我来补上第十章吧


第十章：
The z-transform（z变换）

第九章我们引入了连续时间信号的拉普拉斯变换，类似的，对离散信号有z变换，两者从本质上是一样的，因此有很多相似的地方。但正如连续时间信号与离散时间信号之间的差异，z变换和拉普拉斯变换也有很多区别。

10-1：The z-transform（z变换）
由第三章，单位脉冲响应为h[n]的LTI离散系统对输入z^n的响应y[n]为
y[n]＝H(z)（z^n）
其中H(z)的表达式见P742 10－2
推广到任意信号x[n]，其z变换X(z)的公式为P742 10-3。
记做x[n]←z→X(z)，称为z变换对。
当|z|=1即z=exp(jω)时，z变换即为离散傅立叶变换，X(z)即为X(jω)
令z=r.exp(jω)，也可以把x(t)的z变换看作是x(t)乘上r^(-n)后的离散傅立叶变换。

显然，对于某一个x[n]，其z变换H(z)也只能对某些z成立而对另外一些z不收敛。相对于该x[n]的z变换X(z)收敛的z的取值范围称为收敛域ROC，与拉普拉斯收敛域意义相似。为此构建一个z域。对于其中|z|=1一圈称为单位圆(unit circle)与拉普拉斯中的jω轴相当。X[n]的离散傅立叶变换就是x[n]在单位圆上的z变换。

10-2：The region of convergence for the z-transform（z变换的收敛域）
性质1：X(z)的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。
因为容易得知，判断某个z是否对x(t)收敛，只同|z|有关。因此收敛域必然是以原点为中心的圆环。
性质2：ROC内不包涵任何极点
容易理解，因为极点的z值是使得X(z)为无穷大。
性质3：如果x[n]是有限长序列，则ROC为整个z平面，可能除去z=0或者z=∞。
由于一个有限长序列仅有有限个非零值，因此对P743的10-3，任何非0的z值均为收敛。但如果该序列x[n]在某n1>0时有非0值，则显然对z=∞不收敛；若在某n2<0时有非0值则显然对z=0不收敛。因此收敛域为整个z平面但可能除去0点或无穷远点。
性质4：如果x[n]是个右边序列则ROC是某个圆环的外部。换言之，如果z0在收敛域内，则一切|z1|>|z0|的z1都在收敛域内。
性质5：如果x[n]是个左边序列则roc是某个圆环的内部。
性质6：如果x[n]是个双边序列，则可以把它分解为一个左边序列和一个右边序列的叠加，其收敛域要么不存在，要么是两个序列的收敛域的公共部分，即一个圆环。
性质7：如果x[n]的z变换是有理的，则其ROC就被极点所界定，要么延伸至无限远。
性质8：如果x[n]的变换X(z)是有理的且x[n]是个右边序列则ROC就位于z平面最外层极点的外边，也就是半径等于X(z)中最大模值的极点的圆外边。而且若x[n]是因果序列则ROC也包括z=∞。
性质9：如果x[n]的z变换是有理的，且x[n]是左边序列，则ROC就位于z平面最里层的非零极点的里边，也就是半径等于X(z)中除去z=0的极点钟最小模植的圆的里边。若x[n]是反因果序列，则ROC也包括z=0

10-3：The inverse z-Transform（z反变换）
同拉普拉斯反变换一样，z反变换也是由一个离散序列x[n]的z变换（包括形式X(z)和ROC）来求出x[n]的运算。本节共介绍了三种方法。
方法一：通用公式法。Z反变换的公式为 P758 10-41。这个比较复杂。
方法二：同拉普拉斯反变换一样，对X(z)进行分式展开为一次项，然后利用1/(1-a/z))←z→a^n.u[n](ROC在极点a外部)和1/(1-a/z)←z→-a^n.u[-n-1]（ROC在极点a内部）等公式逐项进行反变换，结果叠加。
方法三：直接根据定义，将X(z)拆成关于z的幂的项，然后其各项系数即是对应的x[n]
关于这三种方法，书本上有例题，自己要多看。

10-4：Geometric evaluation of the Fourier transform from the pole-zero plot（由零极点图对傅立叶变换进行几何求值）
该节与前面拉普拉斯变换相似。因为X(z)的零极点其实标名的是分母与分子的各次项的值，从单位圆上任意一点z作线段到各零极点经过几何分析便可得到傅立叶变换。

10-5：Properties of the z-transform（z变换性质）
线性（Linearity）
如果x1[n]←z→X2(z),ROC=R1，x2[n]←z→X2(z),ROC=R2
则ax1[n]+bx2[n]←z→aX1(z)+bX2(z),ROC包括R1∩R2
之所以是包括，还是因为叠加可能引起极点抵消。

时移性（Time shifting）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则x[n-n0]←z→z^(-n0)X(z),ROC=R，原点或无穷远点可能被加上或除掉
ROC的变化石因为时移造成增加或减少在n>0或n<0时的非零x[n]值

Z域尺度变换（Scaling in the z-domain）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则z0^n.x[n]←z→X(z/z0),ROC=|z0|R

时间反转(Time reversal)
在z变换中是不能随便进行时间尺度变换的，因为x[n]取值必然是整数点。
对于时间反转的z变换而言，
x[n]←z→X(z),ROC=R
则x[－n]←z→X(1/z),ROC=1/R

时间扩展（Time expansion）
时间扩展对应的概念是：x[n]时间扩展为x(k)[n]，则在x[n]的每两个整数点中插入n-1个零值，形成新的序列。或者表示为：
x(k)[n]=x[m] (n=km)
x(k)[n]=0 (n不是k的整倍数)
这时有：x[n]←z→X(z),ROC=R
则x(k)[n]←z→X(z^k),ROC=R^(1/k)

共轭（Conjugation）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则x*[n]←z→X*(z*),ROC=R，
特别对实数序列x[n]，有X(z)=X*(z*)
因此若实序列的X(z)有一个极点或零点z0，则必有一个极点或零点z0*

卷积性质（the Convolution property）
这又是最重要的性质之一。
若x1[n]←z→X1(z),ROC=R1；x2[n]←z→X2(z),ROC=R2
则x1[n]*x2[n]←z→X1(z).X2(z),ROC包括R1∩R2

z域微分（Differentiation in the z-domain）
x[n]←z→X(z),ROC=R
则nx[n]←z→(-z)dX(z)/dz,ROC=R

初值定理（The initial-Value theorem）
若n<0,x[n]=0，则
x[0]＝lim(z→∞)X(z)

所有性质的表格见P775 表10－1

10-6：Some common z-Transform pairs（常用z变换对）
P776 表10－2

10-7：Analysis and characterization of LTI system（用z变换分析与表征LTI系统）
对于一个离散LTI系统，具有下面的关系
Y(z)=H(z).X(z)
其中H(z)称为系统的系统函数(system function)或者转移函数(transfer function)。若单位圆在系统H(z)的ROC内，则将H(z)在单位圆上求值（即H(jω)）就变成系统的频率响应.
通过对H(z)的零极点和收敛域的分析可以得出很多该系统的特性。

对因果性的判断：
当离散LTI的系统函数H(z)的ROC是在某一圆的外边且包括无穷远点则该系统为因果。
而一个具有有理系统函数H(z)的LTI系统：当且仅当ROC位于最外层极点外边的某一个圆的外边，且把H(z)表示为z的多项式比，分子阶次不能大于分母阶次。

稳定性的判断：
稳定性即傅立叶变换收敛，因此：当且仅当一个LTI系统的H(z)的收敛域包括单位圆|z|=1，该系统为稳定的。
对一个具有有理系统函数的因果LTI系统，当且仅当H(z)全部极点位于单位圆内，系统为稳定的。

由线性常系数差分方程表征的LTI系统（LTI systems characterized by Linear constant-coefficient difference equations）
如前面所说，差分方程可以视为对LTI的输入与输出关系的一种表征。则解这种方程，同样是对两边进行z变换后，把较复杂的差分换为简单的代数比例式加以运算。

10-8：System function algebra and block diagram representations（系统函数的代数属性与方框图表示）
类似连续时间系统的代数属性与方框图表示。只是在直接法里稍有些变化，自己掌握。

10-9：The unilateral z-transform（单边z变换）
前面所谈的z变换称为双边z变换（bilateral z-transform）。本节介绍单边z变换，其公式为P790 10-125。写作：
x[n]←uz→X(z)。
单边z变换可以看作x[n].u[n]后再进行z变换。因此对单边z变换而言，如果函数x[n]本身即是因果信号则其单边z变换与其双边z变换完全一样。否则一般是不同的。

单边z变换的反变换，由一个式子x[n]的单边z变换X(z)，只能反求出x[n]在n>=0的时候的值。而对于n<0时的x[n]，由于在单边z变换时已经把这部分信息消除，因此无法恢复。

单边z变换性质（Properties of the Unilateral z-transform）
主要性质见P793 表10-3

对于时移：
x[n-1]←uz→x[-1]+X(z)/z
x[n+1]←uz→zX(z)-zx[0]

利用单边拉普拉斯变换，同样可以解一些具有非零初时值的线性常系数差分方程。详细请见 P795 例10－37

本章小结：
本章同第九章很多地方极其类似，首先由离散LTI系统的指数输入、输出与单位脉冲响应的关系推出z变换及其定义域的概念，并分析z变换与离散傅立叶变换的关系。接着分析了z变换的性质及其收敛域的一些特点，再后是通过z变换分析与表征系统，解具有零初时的线性常系数差分方程。再后是关于离散系统的方框图表达。最后提出单边z变换的概念并利用它解具有非零初时的线性常系数差分方程。

本章要求掌握的知识点：
z变换的概念；
z变换与离散傅立叶变换的关系；
z变换的收敛域的概念和特点；
了解z反变换的三个方法，学会用第二和第三种解题；
z变换的性质；
常用z变换对；
利用H(z)和收敛域判断LTI的稳定性和因果性；
利用z变换解初时松弛的线性常系数差分方程；
用方框图表示系统，会由方框图写出系统；
单边z变换的定义，性质；
用单边z变换解具有非零初时的线性常系数差分方程；