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发信人: saintangel (至高天使长), 信区: Heroes
标 题: 比较兵种实力的一种思路
发信站: 一塌糊涂 BBS (Sun Jun 13 05:05:35 2004), 本站(ytht.net)

在heroes3中，大天使比大恶魔强，这点是毋庸置疑的吧。在1对1单挑，没有英雄攻防加成、特技、技能、宝物、魔法、地形、士气、运气等额外因素影响的情况下，大天使必胜大恶魔。如果进一步探讨这个问题，提出下面这个问题：

大天使究竟比大恶魔强多少呢？或者说，怎么定量地分析他们的单挑实力对比呢？

我是数学出身的，一直以来都试图将天使和恶魔的实力比量化。下面说说个人的一些浅见，欢迎讨论：

首先，看看天使和恶魔的属性：
天使：att30def30dmg50hp250sp18 恶魔：att26def28dmg30-40hp200sp17
双方憎恶。单挑（没有额外因素的影响，不分堆），天使先出手。
1天使造成伤害：(1+2*5%+50%)*50=80，相当于2/5个恶魔。
1恶魔造成伤害：(1-4*2.5%)*(1+50%)*30-40=40.5-54 为计算简便起见，假定avg=50（实际上avg=47.25<50），相当于1/5个天使。

（1）假定天使数目为n。n个天使可以干掉m个恶魔，但当恶魔数目增加到足够大时，恶魔反过来可以干掉n个天使。记n个天使恰好可以干掉的恶魔数目为f(n)(就是说可以干掉f(n)个，但是不能干掉f(n)+1个），f(n)就是n的一个函数。那么，可以想见，f(n)/n当n趋向于无穷大时的极限就是双方的实力比，这是我思路的出发点。

（2）令A=lim[f(n)/n],则lim[f(n)/n]=A=lim{[f(n)+1]/n}，lim表示对n取无穷大的极限。这里没有证明极限A的存在性，一来我觉得A的存在性显然，二来我确实不知道该怎么证。从数学的角度说，这里不严谨。

（3）如果n个天使可以干掉m个恶魔，t个天使可以干掉s个恶魔，那么(n+t)个天使可以干掉(m+s)个恶魔；反之结论同样成立：n个天使不能干掉m个恶魔，t个天使不能干掉s个恶魔，那么(n+t)个天使不能干掉(m+s)个恶魔。这是推理的基础，个人还是觉得很显然但是又不知道该怎么证明。

（4）f(n1)+f(n2)+…+f(nk)<=f(n1+n2+…+nk)<f(n1)+f(n2)+…+f(nk)+k；1,2,…,k都是下标。
　　理由是n1个天使可以干掉f(n1)个恶魔，但是不能干掉f(n1)+1个，将n1换成n2,n3,……nk等等一样成立，由（3）立即可得到结论。

（5）k*f(n)<=f(k*n)<k*f(n)+k;
　　在（4）中令n1=n2=……=nk=n即得结论。

（6）f(n)/n<=A<=[f(n)+1]/n;
　　在（5）中不等式两端同时除以k*n,得
　　f(n)/n<=f(k*n)/kn<[f(n)+1]/n
　　再令k趋向于无穷大得
　　f(n)/n<=A<=[f(n)+1]/n

（7）由于A是f(n)/n与[f(n)+1]/n两者的极限，同时所有的f(n)/n与[f(n)+1]/n都成立（6）式，故
　　A=sup{f(n)/n}=inf{[f(n)+1]/n}，sup，inf分别代表上确界，下确界。
　　即有结论：
f(n)/n<=sup{f(n)/n}=lim[f(n)/n]=A=lim{[f(n)+1]/n}=inf{[f(n)+1]/n}<=[f(n)+1]/n

到这里已经可以通过f(n)的值来估计A的大小。比如n=1时f(n)等于1，由（7）立即可以得到A的值在1和2之间。再比如可以通过实验验证f(5)=6，于是立即可知A的值在1.2和1.4之间。但是显然这种通过实验取值得到近似值逼近A的方法并不足取。需要换一个思路来计算A。

设想一下，n天使 VS m恶魔，如果天使取胜，说明天使占有实力上的优势，m/n<A。仔细分析整个单挑过程，设想单挑经过一回合，天使攻击一次，恶魔反击一次&恶魔攻击一次，剩余t个天使，s个恶魔。在这个单挑的过程中，天使实力上的优势是怎样体现的呢？初始实力上的优势，带来的是天使攻击造成更多的伤害，剩余更少的恶魔，使得恶魔伤害变少，天使剩余得多。显见，经过一回合后，天使实力上的优势进一步扩大了！有s/t<n/m<A，单挑继续进行下去，s/t的值如此不断地变小，直到恶魔数量为0，s/t的值变成0为止；反过来，如果恶魔胜，说明恶魔占有实力上的优势，m/n>A，单挑过程中，恶魔初始实力上的优势，带来的是剩余更多的恶魔，使得恶魔伤害变大，天使剩余得少，恶魔的优势进一步扩大，s/t>n/m>A，单挑继续进行下去，s/t的值如此不断地变大，直到天使数量为0，s/t的值变成∞为止。

那么中间的平衡情况呢？假如天使恶魔势均力敌，m/n=A（有没有整数n，m满足m/n=A即A是否为有理数暂且忽略，仅讨论理想情况），那么按照上面的讨论，经过一回合后s/t=m/n=A，一直到最后t,s同时变成0。

上面两段都是可以严格证明的，过程较简单，故略去，可参考下面的等式。

当然，这仅仅是理想情况。实际上，由于攻击有先后，t，s显然不可能同时为0（A也很可能是无理数）。但是我们可以用近似值来逼近！假设n，m都非常非常大，m/n的值也非常非常接近A，误差可以小到忽略不计，那么经过一个回合，s/t的值的改变也应该非常非常小，小到可以忽略不计，仍然有m/n=s/t=A。

（8）t，s，A的值都是可以计算的。天使先攻击，由于1天使1次伤害2/5个恶魔，因此n天使造成的伤害是[2/5*n]个恶魔（[]表示取整），从而s=m-[2/5*n]；然后恶魔反击，并且恶魔再攻击，s个恶魔2次造成的伤害是[2*1/5*s]个天使。于是t=n-[2/5*s]。

（9） m m-[2/5*n]
A=----- = -------------
n n-[2/5*s]
这个式子实际是m=f(n)且n的值趋向于∞时成立。由于n，s的值都趋向于∞，故完全可以用2/5*n，2/5*s来代替[2/5*n]，[2/5*s]（因lim[x]/x=1）。
上式变为：
m m-2/5*n
A=----- = -------------------
n n-2/5*(m-2/5*n)

整理右边的等式，得到m^2-2/5*m*n-n^2=0，除以n^2项即得：
A^2-2/5*A-1=0 __
解此二次方程，舍去负根，得A=(1+√26)/5=1.2198……

可以看到，这与前面实验得到的f(n)=6是一致的。

如果更近一步，精确计算的话，恶魔的avg dmg应该以47.25代入而不是50。类似（9）的计算过程可得A的方程为：
945A^2-378A-1000=0
________
解得A=(189+√189*5189)/945=1.24795088……
这与实验得到f(1000000)=1247951的结果是几乎完全吻合的。这就是我得到的最终结果，天使实力超出恶魔近24.8%。

结语来说说我这个思路中的毛病吧，貌似还很不少：）我是数学出身，碰到问题时都试图建立一个数学模型来解决问题。这是优点，也是缺点。既然是模型，当然是绝对理想化。这就造成了研究问题会非常偏离实际。在上面的讨论中，什么额外的因素都没考虑，实际上这是显然不可能的。实际当中，就算没有英雄、魔法、地形的影响，也不能不考虑士气、运气的影响。一次士气高涨就可能导致战局的完全改变。就算没有士气、运气因素，由于恶魔的dmg在30~40之间波动，如果刚开始几次恶魔的dmg非常高，以至于恶魔以此确立了实力上的胜势，后面几次dmg非常低也就无所谓了。当然，一旦考虑其他因素的影响，将会使讨论变得异常复杂，个人也没有能力来完成讨论了。

还有，这个模型过于理想化，以至于将生物本身的特技都忽略了。实际中呢？天使的特技加士气还可以忽略，那些特技像老化、石化、麻痹、失明、中毒、死亡凝视等等，都是生物的看家本领，对战局也起着至关重要的影响，能忽略不计么？还有那些远程兵种，有谁战斗时是将他们送上前线和别人肉搏？

还有一点不能不提的是，在我的思路中，速度优势并没有很好的体现出来，这也是一个缺陷。速度在讨论中只起到了决定谁先出手的作用。举个例子，假设另外还有一个恶魔，这个恶魔和普通的恶魔没什么不同，唯一的区别是这个恶魔速度只有16。那么沿用上面的思路比较天使和这个特殊恶魔的实力比，他们的实力比应该也是A，因为速度16还是17对于天使来说没什么差别，都是天使先出手。但是速度是16还是17对于恶魔和恶魔就不同了。普通的恶魔和特殊恶魔单挑，普通恶魔由于速度上占优而先出手，会带来很大的优势，这样你会得出普通恶魔/特殊恶魔实力比>1，这看起来与普通恶魔/天使实力比和特殊恶魔/天使实力比相同相矛盾！只剩唯一的解释了，实力比具有不可类比性，即不能因为c/a>(或<或=)b/a得出c/b>1(或<或=）。