【趣味数学】数学悖论奇景 
　　“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。
　　悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。
　　著名的《科学美国人》[屏蔽]社编的《数学悖论奇景》中，有不少生动而奇妙的题目，下面几则便选自其中。有的题目作了简略的分析，有的只提出问题，留侍读者去思索。
　　1.唐·吉诃德悖论
　　小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。
　　一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。”
　　旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难！
　　2.梵学者的预言
　　一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
　　苏椰：你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。
　　学者：我肯定能。
　　苏椰：不，你不能。我现在就可以证明它！
　　苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说：
　　“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？”
　　“好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。
　　3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。”
　　学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。
　　苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。”
　　3.意想不到的[屏蔽]
　　公主要和迈克结婚，国王提出一个条件：
　　“我亲爱的，如果迈克打死这五个gate后藏着的一只[屏蔽]，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开gate，从1号gate开始。他事先不知道哪个房间里有[屏蔽]，只有开了那扇gate才知道。这只[屏蔽]的出现将是料想不到的。”
　　迈克看着这些gate，对自己说道：
　　“如果我打开了四个空房间的gate，我就会知道[屏蔽]在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以[屏蔽]不可能在第五个房间。”
　　“五被排除了，所以[屏蔽]必然在前四个房间内。同样的推理，[屏蔽]也不会在最后一个房间——第四间内。”
　　按同样的理由推下去，迈克证明[屏蔽]不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满怀信心地去看gate。使他惊骇的是，[屏蔽]从第二个房间跳了出来。
　　迈克的推理并没有错，但他失败了。[屏蔽]的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。也许，迈克进行推理的本身就与国王关于[屏蔽]“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。
　　4.钱包游戏
　　史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说：“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。”
　　学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱；如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。”
5.一块钱哪儿去了？
　　一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张；另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。
　　第二天，老板又拿出60张唱片。他想：“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢？”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。
　　这一块钱到哪儿去了呢？
　　6.惊人的编码
　　外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。
　　赫尔曼：“你何不带一套大英百科全书回去？这套书最全面地汇总了我们的所有知识。”
　　基塔：“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了！
　　基塔先生是怎样做到的呢？
　　基塔：“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一词就编为3－0－1－0－22。我用高级袖珍计算机快速扫描，就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如0.2015015011……
　　基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a／b刚好等于上面那个十进制分数值。
　　基塔：“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值；根据编码的规定，你们的百科全书就被破译出来了。”
　　这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了！
　　7.不可逃遁的点
　　帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑学老师克莱因。
　　克莱因：“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？”
　　帕特：“这绝不可能！我走路时快时慢，有时还停下来休息。”
　　克莱因：“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。……”
　　帕特明白了。你明白了吗？
　　8.橡皮绳上的蠕虫
　　橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行；而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢？
　　乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到：随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。
　　如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是（推导过程从略）：
　　当n足够大（约为e100000）时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。
　　9.棘手的电灯
　　一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。
　　那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？这个问题实在是难！

好奇异的数学现象啊

最后一个,电灯关了.

那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着?
这个过程能结束吗?

数学很神奇

第5个其实很简单
第一种60张唱片的总价值是（30*（1/2））+（30*（1/3））=25
第二种60张唱片的总价值是60*（2/5）=24
老板的搬来的想法其实应该是2张 硬的搭配3张软的卖 但实际情况是30张硬的中只有20张是搭配软的卖的。而剩余的10张中有6张硬的是按照一元3张卖的，本来卖3元实际卖了2元。总结下就是60张唱片中有6张硬唱片是按照软唱片的价格卖的

第一个故事描述的是广为人知的逻辑学悖论，见于许多逻辑学的教科书中。若把其形式稍作修改便可形成诸如“罗素悖论”——用以动摇集合论的基础的悖论——等著名悖论。


第二个故事比较有意思，但其描述的悖论本质上和第一个故事所描述的悖论是同一个类型。其常见于自由意志者和决定论者之间的辩论中。这个故事以“梵学者”作为主角，个人认为有点讽刺宗教的味道。再深入些看看这个故事不难发现其实它是非常荒谬的，只不过语言中的“符号化”现象（例如代词等等）伪装了它本身的荒谬性。来看看让我们感到奇妙的原句“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。”被“还原”后的形式：“在下午3点以前的某个时刻或者某段时间内，你将否定你的“否定”这一预言。”（即“你将否定你的一个预言，这个预言正是你刚刚作出“否定”的这个预言本身”。） 这显然很荒谬。
p.s.这种手法最基本的形式应该是例如：“本命题是伪的。”被分解为“A命题：B命题是真的。B命题：A命题是伪的。”前者一眼就可看出其荒谬性，而后者，就其中每个命题本身而言，是非常正常的陈述。


第三个故事很有意思。不过需经过细心的思考方才能觉得其“奇妙”之所在。许多人在走马观花似的阅读后常忽略了这句话：“他事先不知道哪个房间里有[屏蔽]，只有开了那扇gate才知道。”我们或许会很自然地认为它所表达的意思是“在迈克准备开始整个行动之前，[屏蔽]从哪扇gate后出来迈克不能确定”，但是仔细阅读后不难发现，这句话在文中的意思应该是在任何情况下“不确定性”对迈克都成立（否则其后的推理便毫无意义），即迈克在每一次开gate之前都不能确定gate后是否有[屏蔽]。如此看来，迈克的推理“如果我打开了四个空房间的gate……第五间房内不可能有[屏蔽]”便是正确的了，因为假设事情出在这种情况之下，迈克就“已然知道了[屏蔽]在哪里”，从而与国王的论断相违背。
但他在接下来的判断中就没那么“明智”了——分析一下第四个房间：如果按照“同样的理由推下去”来排除第四个房间没有[屏蔽]，则它的成立依赖于“第五个房间没有[屏蔽]”（注意他是在反推即所谓的逆向思维），而“第五个房间没有[屏蔽]”的论断又是建立在“前四个房间有[屏蔽]”的前提之上（正如前所述），此即 “前四个房间有[屏蔽]”推出“第四个房间没[屏蔽]”。如此推理直至第一个（中间推理过程过于繁琐，在我这里其最后形式为：“在前一个无之下”……推得“第二个有”推得“存在确定的现象”推得“矛盾”推得“第一个有”推得“存在确定的现象”推得“矛盾”。由于过于繁琐故略之）便会发现“前一个房间有[屏蔽]”推出“第一个房间没[屏蔽]”——此处“前一个房间”和“第一个房间”等价——显然这是荒谬的。所以悖论产生的原因就在于迈克对国王的“他事先不知道哪个房间里有[屏蔽]”的理解之上。如果把它理解成了“对所有的可能发生的情况”，则它本质上就是和前两个悖论在形式上类似的悖论——不论迈克怎么推理，结果终将违背他的意愿。本人觉得这就是其“有意思”之所在。以上仅个人观点。
p.s.可见存在主义“对自己的选择负责”中的“负责”也仅仅只能负相对有限的责任。否则结合现代时空观和逻辑学，对于“所有可能的存在”（正如本故事中的“所有可能的状态”），他对一种自己可能的存在状态下的负责就有可能导致对自己另一可能存在状态下的不负责。


[ 此帖被tuotuo25在2008-03-16 11:33重新编辑 ]

第四个故事讲的是一个和博弈有关的问题。不知是何缘故题目没给完，我将此题找到后重述如下：
史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭。
教授：我来告诉你们一个新游戏，把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有钱。
乔：呣……，如果我的钱比吉尔的多，她就会赢掉我的钱，可是，如果她的多，我就会赢多于我的钱，所以我赢的要比输的多。因此这个游戏对我有利。
吉尔：如果我的钱比乔多，他就会赢掉我的钱。可是，如果他的钱比我的多，我就可以赢，而我赢的比输的多，所以游戏对我有利。
一个游戏怎么会对双方都有利呢？这是不可能的。是不是因为两个参与者都错误地设想他赢和输的机会是相等的，因而产生了这个谬论呢？

显然两人都以同样的观点认为此游戏对自己有利。有人说这个问题和概率有关。是的当然有关，但此处两人的着眼点在期望而不是概率上。而这正和乒乓球开赛前裁判抛硬币“如果硬币为正A将发球B接发球，为反B将发球A接发球”类似（若AB均是发球高手都想第一个发球并且他们都怕接发球，则此情况便与上述题目完全类似）。
p.s.这题让我联想起了有一些关于在什么都不知道的情况下用概率1/2来表示从而形成的悖论，例如已知图书馆里有红色封面的书，其他什么信息都不提供，则最好的估计是：红书1/2，非红书1/2，因为没有任何理由否定这一点但这样仍有问题等等以及网上某处和braess佯谬一起被介绍的一个关于[屏蔽]一定会输的佯谬。有兴趣的可以去找找。


第五个问题很简单，2块钱5张其中硬2软3，虽各30张但卖出的速率不等，结果最后软的卖完时硬的还有10张，本应以每两张1块卖出共可赚5元，但是老板的视觉和触觉出了点问题，愣是把硬的5张唱片拿起来，对着客户，痴痴地说：“这是2张软的和3张硬的，共2元……”结果10张只收了4元。——可见出这道题的人根本没有考虑它在现实中的荒谬性。


[ 此帖被tuotuo25在2008-03-16 11:40重新编辑 ]

第六个故事，我最为感慨的一个故事。我觉得它极具启发性。这个故事严格来讲已经“跑题”了——完全不属于悖论的范畴。它只是让人感到惊讶——原来大量的信息竟然可以——至少在理论上可以——以一个点来表示：有限的信息或有限形式的信息用一个有理数表示；无限的信息或者无限形式的信息用一个实数表示——只要它们的编码规律和数的进制规律相吻合即可。但绝对精确的点我们是找不到的，也即现实中要寻找的点的位置越精确——对应于解码越大的量的信息——对应的准确度就越低，直至不可能。这也自然使我们想到了我们是否可以通过这一形式看到宏观上复杂的不可预知的现象和微观中的某些不确定性（例如测量中的误差、量子力学的“不确定性原理”等）之间的某种联系。以及复杂性和简单性的关系，以及那些玄学中的某些东西，等等等等。其实在别处也可见这些类似的描述，我印象中罗杰彭罗斯的《皇帝新脑》中关于图灵机的那章里有过和此处的故事中内涵上相近的文字。

第七个故事所提出的问题没什么新意，不过它使我联想到了这样的一件事：一天有人给生病中的爱因斯坦出了道题，要他证明钟表盘上存在着这样一种状态：时针和分针互换称谓后仍能指示出一个正确的时间。我想到我父亲给的证明，非常好玩，他假设存在一个“小分针”，当分针走五分钟时，小分针刚好走一圈（即模拟了时针和分针的关系），则在五分钟内，小分针——由于其必然走的比时针快，则必然要和时针相交一次。而在小分针和时针相交的时候，便是题目所要证明的状态。我不知道爱因斯坦是否是如此解答的，只是觉得父亲这个方法很巧妙——父亲说当时他的一位同学是靠计算等复杂的方法弄出来的，而他却用了这个巧妙方法。

第八个故事是“似是而非”型，其实它应该——限于时间我还没仔细看——很容易就想的明白。因为我们或许忽略了速度的叠加——这里速度是按比例叠加的，越往后越快。限于时间——马上要熄灯——我留待以后尝试着做一做。 （把虫看成质点并把橡皮绳分为足够小的小段使得每段顶点相对于其前段顶点的移动速率v小于虫相对于绳的速率，则虫便有能力在有限时间内“追上”这一小段的顶点。并且每当虫征服了一段之后，它相对于绳子固定端的速率便“升了一级”（所在顶点的速率加上虫相对于绳的速率，将每段再细分下去趋于极限便是实际情况），则虫所处的新的相对环境便和之前的几乎一样，只不过当前这一段绳子的长度比刚才的长一些，于是虫仍然是以相对来说和之前一样的速率去追“下一个顶点”，如此有限步之后虫便到达了终点。用文字表述起来真是麻烦 ——翌日）

第九个故事——快熄灯了最后说几句——无非是在说无穷大是奇数还是偶数。这是荒谬的，并且现实中也不可能存在这种现象。


[ 此帖被tuotuo25在2008-03-16 12:22重新编辑 ]